Задачки

Забавно, Мишустин задал задачу, которую я когда-то упоминал в моём блоге. Задача слишком хорошая для импровизации --- думаю не обошлось без предварительной подготовки.

Услышал вчера неплохую задачу на логику.

Есть три друга: Илья, Лёша и Стас. Илья всегда говорит правду, Лёша всегда врёт, а Стас выбирает ответ случайно.

Повстречав эту троицу и задав три вопроса типа да-нет (каждый вопрос задаётся одному человеку), как определить кто из них кто?

Задача простая, конечно.

Mathematica 12.2

В новом релизе Mathematica (12.2)  наконец-то перестал работать мой пакет LiteRed разлива 2015г. Суматошное разбирательство показало, что причина в измененной процедуре ValueQ. Выяснилось, что код

f[x]^=1;ValueQ[g[x]]

теперь даёт при вычислении True (и код x=x;ValueQ[x] тоже даёт True). В ярости написал вопрос в Mathematica Stack Exchange, и да, таки, всё правильно, как в том анекдоте.

Из любопытства прошёлся по списку багов, который я когда-то составлял. Баги №№5,8,9 всё ещё живы. Девятый я тоже запостил в Mathematica.SE. Самое смешное --- что случилось с багом №2: до версии 12.2 DiscreteRatio[Sin[Pi x], x] вычислялось в 1, а в 12.2 этот баг "исправили": теперь DiscreteRatio[Sin[Pi x], x] остаётся невычисленным. Прогресс!

Объять необъятное

Вот есть такое тождество для $0\leqslant z\leqslant 1$: \[_2F_1\left(\tfrac13, \tfrac23; 1; \tfrac{27 (-1 + z^2)^2}{(3 + z^2)^3}\right)=\frac{\left(z^2+3\right) }{\sqrt{(3-z)^3 (z+1)}}\,_2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;\tfrac{(1-z) (z+3)^3}{(3-z)^3 (z+1)}\right)\] Я даже, если очень захочется, смогу его доказать, наверное. Но вот откуда такие монстры берутся, и как их находить, я совершенно не представляю. И если об этом думать, по-моему, можно мозг сломать. Особенно страшно становится, если записать тождество в виде \[_2F_1\left(\tfrac13, \tfrac23; 1; x\right)=t\,_2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;y\right)\] и выяснить, что $y$ и $t$ связаны с $x$ вот такими алгебраическими уравнениями:\begin{gather}256 x^4 y^6-768 x^4 y^5+1536 x^4 y^4-1792 x^4 y^3+1536 x^4 y^2-768 x^4 y+256 x^4-768 x^3 y^6+2304 x^3 y^5+9216 x^3 y^4\nonumber\\-22272 x^3 y^3+9216 x^3 y^2+2304 x^3 y-768 x^3+768 x^2 y^6-2304 x^2 y^5+9792 x^2 y^4-15744 x^2 y^3+9792 x^2 y^2\nonumber\\-2304 x^2 y+768 x^2-256 x y^6+768 x y^5-888 x y^4+496 x y^3-888 x y^2+768 x y-256 x+27 y^4-54 y^3+27 y^2=0\end{gather}\begin{equation}256 t^{12} x^4-768 t^{12} x^3+768 t^{12} x^2-256 t^{12} x+1728 t^8 x^2+432 t^8 x+27 t^8-432 t^4 x-54 t^4+27=0\end{equation}

Стрела времени

Недавно Какое-то время  назад (поскольку этот пост лежал в черновиках довольно долго) мне попал в руки текст про необратимость времени и вспомнились несколько своих мыслей по этому поводу. Нужно сказать, что если такого рода вопросы начать обсуждать с профессиональным учёным-физиком, то вовсе не факт, что найдёшь взаимопонимание. Дело в том, что вопросы эти сопряжены отчасти с философией, а эту науку наша братия, как правило, не уважает. Но всё-таки мне кажется, что в вопросе есть достаточно конкретики, чтобы он стоил времени, потраченного на раздумья.
Так вот, начнём с того, что необратимость, которую я ещё буду называть однонаправленностью, времени можно понимать как минимум в двух смыслах.

Первый смысл связан со вторым началом термодинамики, которое утверждает, что энтропия замкнутой системы не убывает со временем, причём, как правило, растёт. Энтропия --- это мера беспорядка, и, говоря неформально, второе начало означает, что любая система, будучи предоставлена самой себе, постепенно приходит в полный беспорядок. Ну, и проявив некоторую гибкость ума, можно это второе начало считать определением стрелы времени. Вроде я где-то читал статью какого-то классика про это (о, гугл подсказывает, что это был Хокинг). Ну, по большому счету, есть в этой точке зрения нестыковки (см. вышеупомянутую статью).

Второй смысл связан с понятием причинности событий --- что причина всегда появляется раньше следствия --- как мы это ощущаем. Тоже объясняет это мало. Но здесь я хочу заметить важную роль того, что называется свобода воли, для определения причинности. Без возможности выбирать, какое действие совершить, никаким разумным образом причинность не определить. А так --- уколол палец и вот, капает кровь. А не уколол --- не капает.

Если эту точку зрения развивать, наверное, можно утонуть в бесплодных философствованиях. И этим заниматься я не собираюсь. Но вот что я хотел подчеркнуть, это то, что геометрия нашего мира в совершенно определённом смысле не вступает в противоречие с этой самой свободой воли, в то время как могло бы быть и не так. Я, как обычно, говорю о самоочевидных вещах, но всё же мне это кажется забавным. Сравним уравнения \[(\partial_t^2-\Delta)\psi=0\] и \[(\partial_t^2+\Delta)\psi=0\]Первое соответствует волновому уравнению в псевдоевклидовом пространстве, а второе --- его евклидов аналог. Казалось бы, поменялась только сигнатура метрики, группы симметрии очень похожи, и даже формально совпадут при замене $t\to it$. Но в первом случае граничные условия можно ставить на пространственно-подобной поверхности, произвольно зафиксировав $\psi$ и её нормальную производную. Во втором же случае так поступать нельзя. Поэтому проявить свободу воли в пространстве с евклидовой метрикой весьма затруднительно, не сломав всё к чертям. Пространство же с псевдоевклидовой метрикой как будто специально устроено для проявления свободы воли.

Задача с Форт Боярд Математиков

На выходных наткнулся на Ютьюбе на Форт Боярд Математиков. Ничего особенно интересного я от него не ждал, поскольку хорошие задачи, всё-же, за пять минут не решаются. Ну и да, там в основном были задачи на троечку (кстати вот здесь Савватеев умудрился неправильно решить задачу про бикфордовы шнуры --- а ведущий её зачёл), да ещё и почти все я знал, в той или иной редакции. Например, задачу со шкафчиками мне в немного другом оформлении (про бесконечный ряд лампочек) рассказали во время одного из моих визитов в Карлсруэ --- даже помню кто. Задача со взвешиванием 8-ми монет --- это вообще баян, да ещё и упрощенный вариант. Задачу с круглым озером я тоже знал, только там была девушка на матрасе и хулиган. Задача про девочек и мальчиков --- первая задача из сборника задач Дж. Кронин, Д. Гринберг, В.Телегди. Теоретическая физика. Сборник задач с решениями, (только там мальчиков ждали). В общем, из всех задач, которые там предлагались, я не знал только самую сложную --- про кооперативную игру с монетами. Вот скриншот условия

Два популяризатора науки оказались перед этой задачей беспомощны, по-крайней мере, в пределах отведенных им на размышление пяти минут. Честно признаюсь, что я сразу подумал, что в условии неточность, тем более, что в другой задаче неточность уже была. Я решил, что имеется в виду, что популяризаторы говорят номера по-очереди, и что второй слышит ответ первого. Тогда, конечно, задача решается тривиально (кстати, вероятность в этом случае получается равна 1). Но потом я понял, что в такой постановке задача слишком тупая даже для пяти минут, так что стал решать, считая, что они называют номера одновременно. И, пусть не после пяти минут, а после 10-15 я придумал решение с вероятностью выигрыша 2/3. Я был почти уверен, что это решение оптимально и что сделать вероятность больше 2/3 невозможно, но это не так. Я знаю решение с вероятностью 7/10, но вот является ли оно оптимальным --- вопрос для меня открытый.

Задача

Придумал сегодня красивую задачку:

Пусть $M$ — квадратная матрица $n\times n$, чьи элементы — рациональные числа. Если её характеристический полином \[\lambda^{n}+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+c_{0}
\] имеет хотя бы один нецелый коэффициент $c_{k}$, то ясно, что никаким преобразованием подобия \[T: M\to T^{-1}MT\] матрицу не сделать целочисленной. Вопрос: верно ли обратное: пусть все $c_{k}$ — целые. Всегда ли существует преобразование подобия $T$, переводящее матрицу в целочисленную?

Две задачи по ТФКП

Задачи на одну тему, но забавные.

• Рассмотрим интеграл \[ I\left(n,m\right)=\oint_{C}\frac{dx}{2\pi i}\left(\frac{4x+9+5\sqrt{x^{2}+9}}{(x-4)^{2}}\right)^{n}P^{\left(m\right)}\left(x\right)\,, \] где $C$ --- маленький круг с центром в точке $x=4$, $P^{\left(m\right)}\left(x\right)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots+a_{0}$ --- полином $m$-ого порядка, $n$ --- целое положительное число. Вычислить $I\left(n,m\right)$ для $m<n-1$.
• Вычислить для $n\in \mathbb{N}$ \[ \operatorname{Res}\limits_{x=2}\frac{1}{x\sqrt{x^{4}+9}}\left(\frac{25x^{2}+100x+44}{5\sqrt{x^{4}+9}-16x+7}\right)^{n}\,. \]