Замкнутая вселенная

По мотивам одной задачи из блога Константина Кнопа, в котором я периодически нахожу интересные задачи.
Пусть у нас есть риманово многообразие. Дадим два естественных определения:

Расстояние между двумя точками

Минимальная длина кривой, их соединяющей (тем самым, определено метрическое пространство)

Размер многообразия

Максимальное расстояние между двумя его точками

Согласно этому определению, размер круга или шара равен диаметру, а размер сферы — $\pi r$.
Оригинальная задача состоит в том, чтобы найти размер поверхности прямоугольного параллелепипеда $1\times 1\times 2$. Любопытно также проанализировать параллелепипед с другими пропорциями. Или, допустим, определить размеры правильных многогранников. В общем, дальше можно фантазировать в свое удовольствие.

Квантовая механика и конец арифметики

Когда я учился в университете, квантовую механику нам поначалу преподавал Ч. Как сейчас помню эти занятия где-то в начале апреля. Начал Ч. с обстоятельного (и несколько затянутого на мой вкус) объяснения того, что квантовая механика подразумевает в некотором смысле новую, неклассическую, логику. Гораздо позже я узнал, что и арифметика в квантовом мире претерпевает значительные, я бы даже сказал, фатальные изменения. Рассмотрим атом водорода в основном состоянии. В атомных единицах гамильтониан записывается как\begin{equation}H=\frac{\mathbf{p}^2}{2}-\frac{1}r=-\frac1{2r}\partial_r^2r+\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}-\frac{1}r\end{equation}Волновая функция, соответственно,\begin{equation}\langle\mathbf{r}|0\rangle=\exp(-r)/\sqrt{\pi}\end{equation}Энергия основного состояния, как известно, $E_0=-1/2$.
Теперь вычисляем матричный элемент $\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle$ двумя разными способами. Прямым дифференцированием получаем:\begin{equation}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 1}{=}4\pi\int dr\, r^2\, \frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}r^{-1}\frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}=1\end{equation}Немного алгебры дает\begin{multline}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 2}{=}\langle 0|-2(H-\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 3}{=}\langle 0|-2(H+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 4}{=}\\\langle 0|-2(E_0+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 5}{=}\langle 0|r^{-1}|0\rangle-2\langle 0|r^{-2}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 6}{=}1-4=-3\end{multline}Итак, мы получаем $1=-3$, или, перенося в одну часть,\begin{equation}4=0,\end{equation}откуда следует, что все числа равны нулю. А это и есть конец арифметики.

Как физики берут интегралы

Всех нас учили в университете брать интегралы. И конечно, на первом курсе объясняли нам что такое собственные и несобственные интегралы. Но где-то курсе на третьем научили нас плохому: брать интегралы как физики. Типичный пример, например, такой интеграл:\begin{equation}I=\int_0^\infty \exp(ipx)\, dx\end{equation} Как физик берет этот интеграл? Регуляризует спадающей экспонентой, берет интеграл, а затем снимает регуляризацию (Извиняюсь за банальные формулы): \begin{equation}I\stackrel{?}{=}\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty \exp(ipx-\epsilon x)\, dx=i/p\end{equation} Ну все же брали так, правда? Однако, не нужно лишних иллюзий относительно обоснованности подобного подхода. Дело в том, что можно предъявить регуляризации, которые будут давать другой результат. Вот например \begin{equation}I\stackrel{?}{=}\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty (1+\frac{\epsilon}{p} \sin px)\exp(ipx-\epsilon x)\, dx=3i/2p\end{equation} В этом месте физики любят обсудить вопрос: а как же правильно, по-первому или по-второму? Физическая интуиция подсказывает, что первый способ более правильный, чем второй. "Что это ты за синус воткнул, специально, подлец, подбирал" - скажет вдумчивый читатель. Однако, никаких рациональных причин в пользу выбора первого способа регуляризации предъявить не удается, по той причине, что вопрос смысла не имеет.
Что я хочу сказать, это еще одну банальность: если вы изначально имели плохо определенный интеграл, то далее, по-разному его доопределяя, можно получить все что хочешь. Пост этот написан как размышление на тему Гришиной мечты. Рассмотрим по этому поводу такой интеграл \begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }\end{equation} Ну что проще его посчитать так:\begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }=\epsilon ^{-1}\int_{0}^{1}dx\,\,x^{-1-\epsilon }\left( 1-x\right) ^{\epsilon }=\epsilon ^{-1}\Gamma \left[ -\epsilon ,1+\epsilon \right] =\Gamma \left[ -\epsilon ,\epsilon \right]?\end{equation} Но ведь этот интеграл не был определен ни при каких $\epsilon$. Так что наша прескрипция - всего лишь прескрипция. Физики верят, что этот ответ --- "правильный", но рассмотрим такую, казалось бы, совсем непатологическую регуляризацию: \begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }=\lim_{\delta\to +0}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }\left( xy\right) ^{\delta }\left( x+y\right) ^{2\alpha \delta }\end{equation} Здесь $\alpha>0$ --- фиксированное число (например, $\alpha=2$). Ну этот интеграл сходится на промежутке $-\delta<\epsilon<\delta$, а для остальных $\epsilon$ определяется аналитическим продолжением:\begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }\left( xy\right) ^{\delta }\left( x+y\right) ^{2\alpha \delta }=\frac{\Gamma \left[ \delta -\epsilon ,\delta +\epsilon \right] }{\left( 1+\alpha \right) \Gamma \left[ 1+2\delta \right] }\to\frac{\Gamma \left[ -\epsilon ,\epsilon \right]}{\left( 1+\alpha \right)}\end{equation} Ответ-то другой получился. И что же тут скажешь?
Скажу напоследок, что и сам я такой, беру интегралы как бог на душу положит. Но надеюсь всегда, а если это просто - то и проверяю, что начинал я с хорошо определенной величины, что регуляризовывал я ее только для удобства и что, если и ошибся, никто никогда мою ошибку не найдет.

Основной инстинкт

Подсмотрено в CERN Courier за чашкой утреннего кофе. Видео с сайта Science Friday. Сайт, похоже, любопытный.

P.S. Связь в конторе стала пристойной, что не может не радовать.

Обман студентов

Хороший преподаватель должен обманывать студентов (Некоторые, правда, обманывают, не отдавая себе в этом отчет, что имеет свои плюсы и минусы). Приведу два примера.

Все студенты, специализирующиеся в физике элементарных частиц, атомной физике и т.п., изучают релятивистские поправки $\sim v^2/c^2$ к гамильтониану, то, что называется гамильтонианом Брейта. Этот гамильтониан выводится следующим образом. Сначала вычисляется амплитуда $M_{fi}$ рассеяния двух частиц и раскладывается по параметру $v/c$. Затем эта амплитуда сравнивается с борновской амплитудой $-V_{fi}$ в нерелятивистской квантовой механике для некоторого потенциала $V$. Получается $$V_{fi}=\frac{-M_{fi}}{\sqrt{2\varepsilon'_2}\sqrt{2\varepsilon'_1}\sqrt{2\varepsilon_2}\sqrt{2\varepsilon_1}},$$ где $\varepsilon_{1,2}$ и $\varepsilon'_{1,2}$ — энергии начальных и конечных частиц. Вспоминая, что $V_{fi}$ —просто преобразование Фурье от потенциала, делаем обратное преобразование и дело в шляпе. Получили потенциал взаимодействия вместе с первой поправкой по релятивизму. Ну, еще, конечно, кинетические члены $-p_{1,2}^2/8m^3$ нужно добавить. Ну и где же здесь обман?

Чтобы сделать обратное преобразование Фурье, нам нужно, чтобы передача $\mathbf{q}$ была независимой переменной. Посчитаем число свободных параметров. $$4\times4(\text{4-импульсы начальных и конечных частиц})-4(\text{закон сохранения})-4(\text{связь} p_i^2=m_i^2)=8$$ Получили, что амплитуда на массовой поверхности имеет восемь независимых параметров. А сколько же нам надо? Девять, по три на каждый вектор $\mathbf{p}_1$, $\mathbf{p}_2$, $\mathbf{q}$. Значит, между этими векторами есть одна связь. И действительно, выражая $q_0$ двумя разными способами, получаем связь $$С=\frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}-\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}=0$$ А как же мы тогда делали преобразование Фурье...? Добавим к $V_{fi}$, например, $0=\frac{C^2}{\mathbf{q}^4}$ и получим другой потенциал.

На практике, при вычислении в кулоновской калибровке, вопроса не возникает, потому что $q_0$ в ответе не появляется, и не надо думать на что его заменять. В ковариантной калибровке уже появляется $q_0^2$ и правильная прескрипция состоит в том, чтобы заменить $$q_0^2\to \frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}\times\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}.$$ Объяснение ограничивается словами: "этот рецепт обеспечивает зануление $q_0^2$ в пределе, когда одна из частиц становится бесконечно тяжелой". Ясно, что, по сути, это обман и более правильное рассмотрение должно быть основано, например, на уравнении Бете-Солпитера. Мне лично вообще не понятно, можно ли проблему связанных состояний сформулировать строго (пост отчасти навеян прочтением недавней статьи Ефимова в архиве. В статье, на мой взгляд, содержится, как минимум, логический прокол, но мысль понятна). Но студентам это объяснение не осилить, по-крайней мере, за разумное для всего курса время. Поэтому, проще всего здесь их обмануть. Я, собственно, в свою бытность студентом и не знал что меня обманули, а понял это только когда сам с этим стал разбираться.

Второй пример касается перенормировки электромагнитного тока в КЭД. Открываем, например, Ченга&Ли и читаем (изложение вольное):

Рассмотрим трехточечную функцию Грина $$G_{\mu}(p,q)=\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\phi(y)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ и пропагатор $$\Delta(p)=\int dx\,e^{-ipx}\langle\mathrm{T}\phi(x)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ (Здесь под знаком T-упорядочивания стоят гейзенберговские операторы). Тождество Уорда — связь между этими функциями: $$-iq^{\mu}G_{\mu}(p,q)=\Delta(p+q)-\Delta(p)$$. Перенормированные функции определяются соотношениями \begin{eqnarray}G^{R}_{\mu}(p,q)&=&Z_{\phi}^{-1}Z_J^{-1}G_{\mu}(p,q)\nonumber\\\Delta^{R}(p)&=&Z_{\phi}^{-1}\Delta(p)\end{eqnarray} Подставляя в тождество Уорда, получаем $$-iq^{\mu}Z_JG^{R}_{\mu}(p,q)=\Delta^R(p+q)-\Delta^R(p)$$. Поскольку правая часть не зависит [в размерностной регуляризации] от точки вычитания, величина $Z_J$ в левой части также не должна зависеть от точки вычитания. Другими словами, сохраняющийся ток не перенормируется.

Этот пассаж сделан для теории $\phi^4$, и в этой теории вывод правилен. Но в КЭД, за исключением тривиального случая, нужно включить взаимодействие с э/м полем $A$. Вопрос: что окажется неправильным в вышеприведенном пассаже?

Неправильной оказывается молчаливо подразумевающаяся мультипликативная перенормируемость оператора $J_\mu$. На самом деле, этот оператор в результате взаимодействия смешивается с оператором $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$.

Уже в одной петле мы можем это понять. Как обычно, пишем $$\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle=\langle\mathrm{T}J_{I\mu}(x)\psi_I(y)\bar\psi_I(0)\cdot\exp\left[-ie\int dx (A_I\cdot J_I)\right]\rangle$$ Здесь индекс $I$ относится к операторам в представлении взаимодействия. Если просто заменяем экспоненту на единицу, получаем борновский м.э. Дальше мы должны разложить экспоненту до второго члена, вычислить матричный элемент в размерностной регуляризации и взять из него $1/\epsilon$ члены. Если оператор перенормируется мультипликативно, то при них должна собраться борновская структура (с коэффициентом). Спаривание операторов приводит к следующим диаграммам:

Расходящаяся часть (РЧ,члены $1/\epsilon$ в размерностной регуляризации) есть во всех четырех. РЧ первых трех диаграмм пропорциональны борновскому результату ($\propto \gamma_{\mu}$, если ампутировать внешние концы). Более того, РЧ первой диаграммы можно отнести к $Z_{\psi}$, а РЧ второй сокращается с РЧ третьей, что можно проверить прямым вычислением. Все было бы хорошо, если бы не последняя, четвертая диаграмма. РЧ этой диаграммы имеет другую структуру ($\propto \gamma^{\nu}(q_{\nu}q_{\mu}-q^2 g_{\nu\mu})$), что совпадает с борновской структурой для оператора $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$ в таком же матричном элементе $$\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}(\partial^{\nu}F_{\nu\mu})(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle\,.$$ Это и показывает смешивание операторов $J$ и $\partial F$. Кто хочет бОльших красот и строгости, смотреть статью Collins,Manohar&Wise. Опять-таки, стоит ли это обсуждать со студентами? Или пусть они лучше запомнят, что сохраняющийся ток не перенормируется? Это утверждение, хотя, как любое категорическое, и не правильное, но все-же физически важное. Так же, как и мое утверждение про обман студентов.

P.S. Мне, кстати, обман обычно не удается, и я начинаю бормотать "правильное объяснение", пытаясь уложиться в одну фразу, что понимания не прибавляет.

Принцип суперпозиции

Недавно (мм..., пока писал пост стало уже не так недавно), придя утром на работу, зацепился за одного коллегу темой о квантовой механике. Точнее, он за меня зацепился. Пока говорили, я вспомнил, что эту тему мы уже один раз обсуждали. Речь шла о процессе измерения и физическом смысле волновой функции. Как известно, последний состоит в том, что квадрат оной пропорционален вероятности обнаружить частицу в данном состоянии (в координатном представлении - в данной точке, в импульсном - с данным импульсом, и т.д.). Таким образом, этот физический смысл завязан за процесс измерения. С другой стороны, в квантовой механике вся динамика задается уравнением Шредингера, а значит процесс измерения должно также описать в рамках этой динамики. Но вот это описание, как раз, не так просто придумать. Точнее, вроде довольно очевидно, что это невозможно. На следующий день попробовал обсудить вопрос со старшим коллегой Ч., но кроме надрывания глоток во время сугубо научной дискуссии, лишь изредка переходящей на личности, никакого положительного опыта не получил.

Попробую объяснить проблему. Оставим в стороне все нюансы, связанные с релятивистской теорией поля, а будем считать, что все важные для нас моменты можно изучить на квантовой механике. В квантовой механике у нас есть уравнение Шредингера, которое прекрасно описывает динамику системы. Ну решили мы это уравнение, остается вопрос: как сравнить наше решение с экспериментом? Ответ-то мы знаем: волновая функция позволяет вычислить вероятность того или иного исхода измерения. Но этот ответ является, конечно, практически очень полезным и успешным, но все-же ни откуда не следующим рецептом, который позволяет связать наш вымышленный мир, в котором существует волновая функция, и реальный мир с его измерениями. Привыкнуть к этому рецепту очень даже можно, нет вопросов. Можно даже волновую функцию в каком-то смысле измерять: возьми набор идентичных систем и измеряй разные проекции (точнее, квадраты их модулей) в.ф., а потом по этим измерениям определяй в.ф. Но ведь прибор --- это тоже часть нашего мира, а значит, тоже подчиняется, по нашим предположениям, законам квантовой механики. Пусть прибор — некоторая сложная квантовомеханическая система. Процесс измерения состоит во включении некоторого взаимодействия прибора с наблюдаемым объектом. Последний для простоты выберем, например, прибитой гвоздями частицей со спином 1/2, а прибор хотим сконструировать так, чтобы он измерял проекцию спина на ось z. Хотим, конечно, чтобы прибор был идеальным, т.е., при состоянии частицы |↑⟩ он всегда показывал ⬆, а при |↓⟩ — ⬇. Что значит "показывал"? Это значит, что у прибора есть, например, два набора попарно ортогональных состояний ⬆={|⬆₁⟩,|⬆₂⟩,...} и ⬇={|⬇₁⟩,|⬇₂⟩,...} и в результате взаимодействия с |↑⟩ прибор переходит в состояние, являющееся линейной комбинацией состояний из первого набора, а в результате взаимодействия с |↓⟩ — в состояние, являющееся линейной комбинацией состояний из второго набора. Вообще говоря, нас устроит и если система прибор+объект после измерения будет находиться в запутанном состоянии типа α|⬆₁⟩|↑⟩+β|⬆₂⟩|↓⟩ для начального состояния |↑⟩ объекта и в состоянии типа α|⬇₁⟩|↑⟩+β|⬇₂⟩|↓⟩ для начального состояния |↓⟩ объекта. Но это дальнейших рассуждений не портит.

Возьмем теперь объект в состоянии |→⟩=(|↑⟩+|↓⟩)/√2. Что должен показывать наш прибор после измерения?  Мы хотим, чтобы он с равной вероятностью показывал ⬆ и ⬇. Когда мы говорим о вероятности, мы имеем в виду возможность различных исходов измерения в зависимости от начального состояния прибора и способа включения его взаимодействия с наблюдаемым объектом. При этом, в каждом конкретном измерении прибор показывает либо ⬆, либо ⬇, но не линейную комбинацию, на то он и классический. Так вот, принцип суперпозиции говорит нам, что такого прибора не может быть. Линейность уравнения Шредингера говорит нам, что наш прибор будет находиться как раз в смешанном состоянии, которое включает в себя и состояния из набора ⬆ и состояния из набора ⬇. Невозможность описать процесс измерения в рамках квантовой механики означает что квантовая механика не полна. А почему тогда этим вопросом никто не занимается? Или занимается?

 

В очереди

В очередной раз стоя в очереди на автобус, придумал задачу:

Ты стоишь в очереди на автобус. Перед тобой $n$ человек. Автобус приходит каждые десять минут. За это время к каждому человеку в очереди (включая тебя самого) с вероятностью $\frac{1}{2}$ подходит знакомый и встает впереди. Чему равна вероятность того, что ты в конце концов уедешь, если в автобус входит $k$ человек?

Я пока даже для $n=k=1$ не решил, но проверил с помощью pslq, что $P(n=1,k=1)$ не является алгебраическим числом.