Кумиры о КМ

Если вы думаете, что понимаете квантовую механику, значит вы её не понимаете.

— Ричард Фейнман

Самое удивительное в том, насколько все это не имеет значения. Большинство физиков использует квантовую механику в повседневной работе, не заботясь о фундаментальных проблемах ее интерпретации. Будучи здравомыслящими людьми, имеющими очень мало времени на то, чтобы успевать следить за новыми идеями и данными в своей собственной области, они совершенно не тревожатся по поводу всех этих фундаментальных проблем. Недавно Филип Канделас (с физического факультета Техасского университета) ждал вместе со мной лифт, и разговор зашел о молодом теоретике, подававшем надежды на старших курсах и затем исчезнувшем из вида. Я спросил Фила, что помешало бывшему студенту продолжать исследования. Фил грустно покачал головой и сказал: «Он попытался понять квантовую механику».

— Стивен Вайнберг, «Мечты об окончательной теории»

В научной литературе я, как и в художественной, ценю элемент сопереживания. Бывает так со мной: открываю учебник какой-нибудь по физике, читаю, мысли всякие на ум лезут. И вдруг, вижу, что и автора эти мысли не обошли, что написал он специально посвященное этим мыслям отступление, а бывает, что и окончательно и бесповоротно разобрался с вопросом. И появляется тогда у меня ощущение радости от того, что и я умный и книжку достойную читаю. Попадает эта книжка в резонанс с моим внутренним ощущением, а автор становится кумиром. Вот такой у меня ненаучный подход к научной литературе.
Но нечасто такое бывает, а чаще бывает по-другому, открываешь книжку и видишь, что хоть там все так просто и понятно написано,автор либо действительно не замечает сложных вопросов, либо просто их не в состоянии никак прояснить. Читаю я такую книжку и вспоминаю старую песенку "когда ты был мал, ты знал все что знал...", а сейчас-то ты, думаю я про автора, давно уже не знаешь, что ты по-настоящему знаешь, а что --- нет.
Хотел я тут недавно написать заметку про квантовую механику. Сейчас ведь кто уравнение Шредингера знает, тот большой специалист по квантовой механике. А все потому, что для практической деятельности таких знаний достаточно. Как сказал Ч. "пока рецепт работает, никого не волнует вопрос почему". Но мне-то за державу обидно, поэтому и хотел написать глубокомысленную статью на тему того, что такое "на самом деле" в квантовой механике. Но! Сегодня, гугля на тему измерений в КМ, наткнулся на статью из Луркморья и успокоился. В качестве эпиграфа выступали изречения двух моих кумиров, приведенные выше. Сапиенти сат. Если кто не понял, советую еще раз перечитать Фейнмановскую цитату, понимая ее буквально. Правда, Вайнберг, по-моему, не совсем точно переведен, когда найду оригинал, заменю. Кстати, к Ландау и Лившицу у меня смешанные чувства, и не в последнюю очередь из-за того, какую хрень они про процесс измерения написали. Золотое правило ведь блин, не понимаешь - не пиши.
P.S. Прочитав внимательно статью Луркморья, с удовлетворением нашел там ссылку на выражение под вопросом.

О вреде азартных игр

Все знают игру "Орел или Решка". Это когда один бросает монетку, а другой угадывает. Мы в эту игру в теор. отделе с Ваней иногда играем. Выигравший спокойно допивает чай, а проигравший бежит по мелкому, но срочному делу, например бумажки за двоих подписывать. Все честно, теория вероятности учит, что в среднем будешь проигрывать столько же, сколько выигрывать. Но это только если действительно бросаешь монетку. А если просто задумываешь число, то может быть и не так. Не каждый ведь может датчиком случайных чисел работать. Человек склонен придерживаться какого-то рецепта даже в таком деле. Какой бы этот рецепт ни был, его можно использовать в свою выгоду.Вот только как?
Ниже скрипт, который делает выводы из предшествующей игры и пытается увеличить вероятность своего выигрыша. Объясню как им пользоваться. Нужно загадать Tails или Heads и дальше нажать на кнопку Guess. Алгоритм покажет свою догадку и нужно сказать ему, угадал он или нет, нажав на одну из появившихся кнопок (только честно). И так много раз. Во втором поле показываются число побед компьютера,ваших побед и ваш выигрыш, а если число с минусом --- то проигрыш. Конечно, чтобы выигрыш компьютера стал заметен на фоне статистического шума, придется, наверное, долго монетку бросать. Следующие два поля и кнопка призваны облегчить задачу. Только если ими пользоваться, вам придется мне поверить, что компьютер сначала выдает догадку, а потом бросает монету, не подглядывает. В первом поле нужно указать паттерн, а во втором --- количество его повторений. Потом нажать на кнопку Iterate. Формат паттерна такой: h-heads,t-tails, ?-честно кинуть монетку, *- кинуть или не кинуть монетку (т.е., звездочка позволяет избежать периодичности). Например, если паттерн ht*, а число итераций 2, то реальная последовательность бросаний при нажатии на Iterate может быть одной из девяти: hthhth,hthhtt,hthht,htthth,htthtt,httht,hthth,hthtt,htht.
Короче, Enjoy. Только не надо сильно много повторений заказывать, а то зависнет браузер.

---

---

P.S. Кстати, можно устраивать бойни между скриптами, так что если кто-нибудь напишет свой скрипт, можно его с моим стравить. Ну, чтобы было понятно, всегда есть нейтральная стратегия: честно бросать монетку. Тогда в среднем никто в проигрыше не останется, так что датчик случайных чисел не предлагать. Исход каждого раунда, естественно, будет передаваться и вашему скрипту. Играть понятно как: оба выкладывают монеты и один выигрывает при совпадении, а другой при несовпадении.
P.P.S. Да, и еще, чтобы не забыть, минизадача: понять закономерность в последовательности
0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,...

Продолжая тему (Задача Томсона)

Остановиться на достигнутом не удалось. Во-первых, сразу стало интересно, сколько существует правильных многогранников в четырехмерии и в n-мерии. Интуитивно почему-то казалось, что чем больше размерность, тем больше правильных многогранников. Подключение к всемирному разуму показало, что жестоко ошибался. После просмотра изумительной красоты картинок, естественно, захотелось завращать все и вся, тем более, что всего-то и надо было научиться правильно определять вершины. Но тут я застрял. Поскольку мыслительного процесса хватает на работе, решил схитрить и решить задачу по-физически, а именно, посадить нужное число точек на сферу и организовать между ними отталкивание. Идея была такая, что эта конфигурация сама устаканится в правильный многогранник. Наивный... Долго ждал, но так и не дождался... Потом решил хоть в трехмерии метод опробовать. Бросил 8 точек и понял, что вовсе не куб получился. Родилась задача: Восемь одинаковых точечных зарядов находятся на сфере. Найти минимум кулоновской энергии.

---

---

P.S. Чтобы система устаканивалась, нужно, конечно, не ускорение, а скорость приравнивать силе. В принципе, это тоже довольно физично: частицы плавают в жидкости.

4d куб

Недавно я объяснял дочке что такое четырехмерное пространство. Рассказывал, в том числе, про 4d куб. После моих не очень внятных объяснений она спросила: "А ты можешь сделать так, чтобы он вращался?". В этом месте я поймал себя на мысли, что не могу себе этого представить. Конечно, я понимаю, что спроецировать можно все на все, в том числе, 4d пространство на плоскость. Завращать тоже можно все, даже в 4d. Но тем не менее, представить, как будет вращаться эта штука я не мог. Кроме того, я не очень понимал, как сделать перспективу. Короче, на разбирательство ушла пара часов и еще несколько часов собственно на написание скрипта. По ходу возникла забавная подзадача. Вот какая. Рисовать гиперкуб я решил одним росчерком, с помощью svg-элемента <path>. Поскольку в каждой вершине сходится четное количество ребер (по 4), это можно сделать, пройдя по каждому ребру ровно по разу. Но вот как? Пройти по каждой вершине по разу --- просто. А именно, каждая вершина естественно нумеруется двоичным числом, и номера соседних вершин отличаются в одном бите. Поэтому задачу решает так называемый код Грея, который легко построить. Мою же задачу комбинация двух таких кодов не решила, так что в конце концов я просто нарисовал в inkscape граф и вручную его обошел по следующему пути:
0,1,5,13,15,14,6,2,3,11,10,8,9,1,3,7,15,11,9,13,12,14,10,2,0,4,6,7,5,4,12,8,0.
Ну да ладно, хватит трепаться, вот что у меня получилось:

---

Кривость куба --- следствие перспективы, как я ее понимаю.

---

PS Забавно, что, в отличии от 3d случая, картинка не обязана повторяться через конечное время. PPS No SVG - no fun. IE отдыхает.

Судный день

На выходных прошел экзамен по КТРИ. Результаты таковы:

5	4	3	2	н/д
14	10	6	21	31

no comments.
Скажу лишь в свое оправдание, что трудно преподавать КТРИ, когда студенты почему-то абсолютно не помнят ни квантовой механики, ни методов мат. физики, не говоря уже о специальной теории относительности и мат. анализе, которые были -- подумать страшно -- два года назад. Перед экзаменом договорились с преподавателями, что, поскольку студент нынче слабый, при очевидной сказанной глупости не выгоняем студента, а пытаемся сначала направить на путь истинный. Вот, например, один из эпизодов со сдачи.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ(После затяжного разговора по теме билета пытается вернуться к первоосновам): -- Ну скажите, как выглядит соотношение неопределенности, дельта икс на дельта пэ ...?
СТУДЕНТ (проговаривая и записывая):  -- $\Delta x\,\Delta p=\pi$ (дельта икс на дельта пэ равно пи)
П: (пытаясь немного оправиться от услышанного и борясь с искушением сразу выгнать студента на пересдачу): -- Ммм... А как же размерность?
С(через 5 мин трудных воспоминаний): -- А, вспомнил: $\Delta x\,\Delta p=\hbar$
П: -- Ну, и все равно не совсем правильно...
С: -- $\hbar/2$?
П: -- Нет.
С: -- $\pi\hbar$?
П: -- Нет, ну соотношение неопределенности - это, ведь, неравенство.
С: -- Аа, точно! Вот: $\Delta x\,\Delta p\leq\hbar$
П: -- ...
...

П(через полчаса борьбы): Ну ладно, я вам ставлю тройку.
С: Нет, мне четверка нужна. Поставьте тогда двойку, я на пересдачу приду.

Скажу справедливости ради, что некоторая часть студентов находится вполне на уровне сильных студентов прошлых лет. Жаль только, что таких студентов стало меньше.

Плоская шутка

Открываем Базя, Зельдовича и Переломова и видим такую формулу

 

Помню, когда я читал эту книжку студентом, никак не мог ее понять. Ну, теперь-то я эту формулу умею выводить: берем разложение плоской волны
\[
e^{ikr\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime}}=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})
j_{l}(kr)
\]
и устремляем $r$ к бесконечности. Используем асимптотику функции Бесселя
\[
i^{l}j_{l}(kr)\stackrel{r\to\infty}{\to}
\frac{i}{2kr}\left((-1)^le^{-ikr}-e^{ikr}\right)
\]
и сумму полиномов Лежандра
\[
\sum\left( 2l+1\right) P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})=4\pi\delta(\mathbf{n}-\mathbf{n}^{\prime})
\]
(ну, и сумму с заменой $\mathbf{n}\to-\mathbf{n}$) и получаем желаемое.
Но все-же, формула выглядит подозрительно, слева стоит функция с единичным модулем,а справа что? Вопрос:где подвох.

Замкнутая вселенная

По мотивам одной задачи из блога Константина Кнопа, в котором я периодически нахожу интересные задачи.
Пусть у нас есть риманово многообразие. Дадим два естественных определения:

Расстояние между двумя точками

Минимальная длина кривой, их соединяющей (тем самым, определено метрическое пространство)

Размер многообразия

Максимальное расстояние между двумя его точками

Согласно этому определению, размер круга или шара равен диаметру, а размер сферы — $\pi r$.
Оригинальная задача состоит в том, чтобы найти размер поверхности прямоугольного параллелепипеда $1\times 1\times 2$. Любопытно также проанализировать параллелепипед с другими пропорциями. Или, допустим, определить размеры правильных многогранников. В общем, дальше можно фантазировать в свое удовольствие.