Как убивать время.

Планировал вчера добить одну задачу, которую мы делаем с М. Как бы не так. Все утро было незаметно съедено хлопотами с ремонтом и добраться до работы удалось только к 11. На работе начали с обсуждения создавшейся ситуации на ФФ с тем же М., а затем и с подошедшим деканом Б.. В конце концов, я пошел к себе и только собрался заняться делом, как зашли вышеозначенные двое и сказали, что будут на мне ставить опыт. Опыт оказался задачей на построение линейкой, которую нужно было решить за пять минут. Задачу за пять минут мне решить не удалось, т.к. пришел Ч. и предложил другую задачу, которая ему зачем-то нужна была для работы. В конце концов, задачу Б. я решил. Задачу Ч. мы тоже решили с М., но тут наступило время идти встречать подъехавшую плитку и машину для вывоза строительного мусора. Приехал домой и сразу в магазин выбирать мебель и другое для новой квартиры. Час перед сном писал скрипт и этот пост. Так весь день и прошел. Приведу в своей редакции две задачи, которые решал.

Задача 1.(Б.) Найти с помощью одной линейки (без делений) центр тяжести фигуры, состоящей из двух прямоугольников, жестко скрепленных углами (см. рисунок ниже). Можно потренироваться прямо на рисунке: нажатие последовательно на две точки рисует прямую, появляющиеся точки пересечения тоже можно использовать для построения прямых. Когда появится точка, которую считаете центром тяжести, нажмите на нее, а затем на кнопку "Check".

---

---

Задача 2.(Ч.) Пусть $h\ $ --- матрица, так что $h^\dagger h \ $ не имеет нулевых с.з. Пусть теперь $H=h+x\ $, где $x\ $ --- инфинитезимальная матрица. Найти разложение матрицы $\sqrt{H^\dagger H}\ $ по $x\ $ до второго порядка. Под $\sqrt{h^\dagger h}\ $ понимается положительно определенная матрица, а под $\sqrt{H^\dagger H}\ $ --- матрица, близкая к $\sqrt{h^\dagger h}$.

Неравенства Белла

Сегодня (на самом деле месяца три назад, когда начал писать пост) как-то случайно обнаружил себя в состоянии гугления по ключевым словам "неравенства Белла". В смысле, не помню, с чего все началось. Статья в Википедии на мое удивление никакой конкретики не содержала, да и другие результаты поиска тоже были не лучше. Тема, на мой взгляд, относится к принципиальным вопросам квантовой механики и достойна заметки. Попробую воспроизвести обсуждение вопроса, которое я пару раз представлял студентам.
Итак, пусть у нас есть частица со спином ноль, которая может распасться на две частицы со спином половинка. Допустим, что в распаде сохраняется спин, тогда спиновая часть волновой функции конечных частиц имеет вид\[\frac1{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle-|\downarrow\rangle|\uparrow\rangle\right)\]Частицы летят в противоположных направлениях и попадают в два детектора, расположенные на большом расстоянии. Оба детектора одновременно измеряют проекцию спина своей частицы на ось $z$. Эксперимент повторяется много раз.
Парадокс Эйнштейна-Розена-Подольского состоит в том, что, согласно квантовой механике, показания приборов будут стопроцентно скоррелированы: если один покажет спин вверх, то другой --- спин вниз. Кажется, что приборы успевают мгновенно обменяться информацией, что противоречит специальной теории относительности. Однако, это, конечно, иллюзия: никакой полезной информации передать таким способом нельзя. Единственное, что мы мгновенно узнаем при измерении --- это результат такого же измерения, выполненного другим таким же прибором.
Более того, скептик может объяснять такую корреляцию абсолютно классически: в каждом распаде частица распадается на одну со спином вверх и одну со спином вниз, а какая из этих частиц попадает в какой детектор определяется сложной, но классической динамикой. Ясно, что мы получим те же результаты эксперимента, что и в квантовом случае. Говоря образно, ситуация обстоит так. Есть мешок с одним белым шаром и одним черным. Два экспериментатора не глядя вытаскивают по шару из мешка и разлетаются не ракетах в разные стороны. Потом они смотрят на свои шары ;) --- и вот она, корреляция.
Хорошо, идем дальше. Пусть теперь экспериментаторы договорились в определенной последовательности чередовать измерения вдоль оси $z$ и вдоль оси $x$. Согласно квантовой механике результаты измерений при этом все-равно стопроцентно скоррелированы. Ага, значит так мы можем определить окончательно и бесповоротно, работает квантовая механика или нет. Ну, не совсем, скажет наш скептик. Просто, в классике это соответствует тому, что есть теперь два мешка, из первого мы тащим шар, соответствующий проекции $z$, а из второго --- $x$. То есть начальная частица распадается либо на пару (++)+(--), либо на пару (+-)+(-+). Здесь мы обозначили за (+-) частицу, имеющую положительную проекцию спина на ось $z$ и отрицательную --- на ось $x$ и т.д.
Рассуждая так и далее, приходим к тому, что результаты экспериментов по измерению проекции спинов частиц на произвольную (но одну на обе частицы) ось можно объяснить, предполагая, что в каждом распаде спиновое состояние частицы характеризуется функцией направления $f(\mathbf{n})$, принимающей для каждого $\mathbf{n}$ с равной вероятностью значения $\pm 1/2$. Еще, конечно, должно быть $f(\mathbf{n})=-f(-\mathbf{n})$. Физический смысл введенной функции прост: ее значение для направления $\mathbf{n}$ есть проекция спина на это направление (которую наш скептик считает определенной вне зависимости от того, измеряется она или нет). При этом функции, соответствующие разным частицам, удовлетворяют условию $f_1(\mathbf{n})=-f_2(\mathbf{n})$ (вследствие сложной, но классической динамики). Так сказать, бесконечное количество мешков, по одному на каждую ось. Ситуация, конечно, странная (внутренний угловой момент частицы характеризуется целой функцией!), но все же классическая. При этом вся функция $f$ является локальной характеристикой (тем, что называется локальными скрытыми переменными) частицы, а то, что мы в каждом эксперименте можем измерить ее значение только для одного выбранного направления скептик списывает на несовершенство наших измерительных приборов. Более того, поскольку $f_1$ и $f_2$ для одного направления жестко связаны в нашем эксперименте, тот же самый скептик считает, что вторая частица дает нам возможность измерить значение $f_1$ под другим направлением.

Теперь будем проводить измерения для разных частиц под разными направлениями. Если угол между направлениями равен $\theta$, то квантовая механика говорит, что вероятность одинакового знака измеренных проекций равна $p(\theta)=\sin^2(\theta/2)$. Это означает, что наши вытягивания шаров из мешков не являются независимыми (в противном случае было бы $p(\theta)=0.5$). А точнее, нам нужно, чтобы коррелятор имел вид\[\langle f(\mathbf{n})f(\mathbf{n}^\prime)\rangle=\mathbf{n}\mathbf{n}^\prime/4\qquad(*)\] Вопрос: возможно ли это?

Рис.1

Покажем, что это невозможно. Для этого зафиксируем четыре направления как показано на рисунке 1 и рассмотрим среднее \[\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)+f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)+f(\mathbf{n}_2)f(\mathbf{n}_3)-f(\mathbf{n}_2)f(\mathbf{n}_4)\rangle\] Чему оно может быть равно? Пусть у нас есть ансамбль частиц. Для каждой частицы реализуется одна из 16 комбинаций значений $f$ для четырех выбранных направлений: (----),(---+),...,(++++). Вероятности, с которой реализуется каждая из комбинаций обозначим, соответственно, $w_0,w_1,\ldots,w_{15}$. Тогда наше среднее равно\[ (w_0+ w_1+w_2+w_3+w_{12}+ w_{13}+w_{14}+w_{15})/2\]\[-(w_4+w_5+w_6+w_7+w_8+w_9+w_{10}+w_{11})/2 \] Поскольку все вероятности положительны и их сумма равна $1$, видно, что для любого ансамбля это среднее меньше по модулю, чем $1/2$. А вот если бы мы использовали $(*)$, получили бы $1/\sqrt{2}\gt1/2$! Вот и противоречие.
Итак, у нас в руках способ экспериментально проверить существование у частицы, вне зависимости от измерения, проекций спина на любую ось. Единственно, что нужно еще сказать, это то, что мы считаем возможным приготовление нескольких одинаковых ансамблей частиц, так, чтобы была возможность измерить сначала на первом ансамбле $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)\rangle$   ($\stackrel{def}{=}-\langle f_1(\mathbf{n}_1)f_2(\mathbf{n}_3)\rangle$  ), затем на втором $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)\rangle$   и т.д. По мне, если этого не предполагать, нужно вообще наукой перестать заниматься, т.к., фактически, отрицается воспроизводимость эксперимента.

Проверка жизнью javascript в браузерах

Чтобы совсем не потерять форму в программировании, накатал сегодня на javascriptе известную игру жизнь, только на треугольной решетке. Вскрытие показало, что градиентные заполнения даются браузерам с трудом и что победителем в этом является Opera. Мой любимый FF жутко тормозит, а Google chrome в спешке "не выговаривает слова", т.е., не рисует градиент вообще.

Маразм крепчает

Позавчера опять поорали друг на друга со старшим коллегой Ч. Дело в том, что, как известно, в связи со сложностью квантовой механики для нынешнего студента, было решено растянуть ее на три семестра, добавив на четвертом курсе мой предмет, который на последнем заседании кафедры так и фигурировал, как "Квантовая механика 3". А первые два семестра читает вышеупомянутый коллега. Поэтому нам приходится как бы работать над согласованием курсов. Процесс идет тяжело, что, наверное, звучит неудивительно для тех, кто в теме. Возрастную субординацию в научных спорах я соблюдать не привык, поэтому в таких спорах пассивно участвует все крыло даже при закрытых дверях. Правда позавчера дело было часов в восемь и никто не пострадал. Речь шла о фотоэффекте и сначала сводилась к абстрактному обсуждению, нужно ли использовать понятие "фотон" в этом месте или достаточно рассмотреть классическое однородное осциллирующее электрическое поле.
Мне уже хотелось домой и когда мы дошли до того является ли условие $k\sim p$ эквивалентным условию $\omega\gg \mbox{Ry}$, я с громкими матами удалился. Ч., по-моему, так и не понял мое негодование. Студентов, конечно, жаль немного.

Весь последний месяц прошел под знаменем борьбы за кредит. Кредит-то мне дать согласны, но всегда находится повод, чтобы это дело оттянуть. Вчера банк нашел гениальный повод оттянуть дело еще на две недели: в штампике в паспорте обнаружилась опечатка в годе рождения жены. Опечатка эта была там больше десяти лет и никак не проявляла себя доныне, а теперь ну вот меняй паспорт и все. Черт, когда уже я все дерьмо разгребу?

Задачи с моралью

Задачи бывают разные: простые и сложные, интересные и не очень. Чтобы быть интересной, мне кажется, задача должна содержать некоторую мораль. То есть, при решении такой задачи должен становиться очевидным некоторый общий принцип или утверждение. Говоря образно, каждая такая задача является своеобразной хэш-функцией морали, которая в ней заключена. Вот два примера. Первый знают, видимо, все мои знакомые, а второй я придумал недавно.

1. Вычислить интеграл

\begin{equation}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2+1)^2}\end{equation}

2. Найти борновское сечение рассеяния заряженной частицы в поле статических зарядов с плотностью

\begin{equation}Ze\left[\delta^{(3)}(\mathbf{r})-2\theta(z)ae^{-a z}\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]\end{equation}

Обе задачи тривиальны и вопрос, конечно, не в том чтобы найти решение, а чтобы понять мораль. Ответом на каждую такую задачу естественно считать пример задачи, имеющей ту же мораль.

PS Да, во второй задаче частицы налетают не обязательно вдоль $z$.
PPS $a>0$, понятно.

Ступор

Есть у меня такое свойство: когда нужно делать много дел сразу, не делаю ни одного. Вот и сейчас, дел куча: на одну статью пришла рецензия с замечаниями, соавтор прислал драфт новой статьи, нужно вписать свой кусок в отчет по гранту и идти в банк за кредитом. А я что? Сижу и решаю задачки на Диофант.ру. Началось все с того, что утром, проснувшись раньше будильника, я вспомнил задачку, которую в девятом классе не решил на союзной олимпиаде, и решил в уме пока ждал звонка будильника. Странно, неужели я тогда такой глупый был? Или мне по-тупому времени не хватило, не помню. Задача такая:

Есть гора, нарисованная на плоскости. Два альпиниста находятся у подножия с разных сторон и начинают двигаться так, чтобы всегда находиться на одной высоте друг с другом. Задача каждого --- перебраться на другую сторону. Нужно доказать, что это возможно при любой форме горы (пиков может быть несколько, но любая точка горы, конечно, находится выше подножия, на то она и гора).

PS В качестве иллюстрации см. счетчик в правой панели.

Созвучие

Читая последний выпуск ТрВ открыл для себя сайт "Математические этюды" для школьников. За этот сайт (ну и за другие инициативы в области популяризации математики) Николай Андреев, зав. соответствующей лаборатории в стекловском институте, получил большую президентскую премию. Прикольные анимации незаметно съели 2 часа вечернего времени. Жалко только, что они без звука. Узнал попутно, что мой пост под дурацким названием "Продолжая тему" следовало назвать "Задача Томсона". Да, кстати, странно, что для $n=5$ не доказана оптимальность.