Квантовую механику я учил как раз четверть века назад. С тех пор и аж до 2011 года пребывал в наивной уверенности в том, что состояния непрерывного спектра обязательно ненормируемы. Но когда занимался задачей про квазилокализованные состояния, про которую я когда-то писал, обнаружил, что это не так. Еще на заре квантовой механики Вигнер и фон Нейман придумали пример нормируемых состояний непрерывного спектра.
Рассмотрим, например, такой потенциал\begin{equation*}
V(x)=\left\{\begin{array}{rl}-\frac{\sin x (8 x \cos x-5 \sin x+\sin 3 x)}{x^2}& x>0&\\ \infty & x\leq 0\end{array}\right.\end{equation*}
Потенциал (заштрихован), энергия и волновая функция.
Потенциал на бесконечности стремится к нулю, поэтому при $E>0$ естественно ожидать непрерывный спектр. Подстановкой можно проверить, что у уравнения Шредингера\begin{equation*}
k^2\psi=-\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi
\end{equation*} при $k=1$ есть точное решение \begin{equation*}
\psi=\frac{e^{\text{Ci}(2 x)} \sin (x)}{x},
\end{equation*}где $\text{Ci}(x)$ --- интегральный косинус. Соответствующая этому решению плотность при больших $x$ убывает как $1/x^2$, поэтому интеграл от нее сходится, и мы получаем нормируемое решение. Физическая причина нерасплывания волновой функции состоит в том, что горбы потенциала эффективно отражают частицу так, что вероятность ее убегания на бесконечность равна нулю. Из картинки видно, что максимумы вероятности находятся слева от каждого горба.
В моём примере энергия нормируемого состояния меньше, чем высота первого горба, но если я правильно помню, то можно подобрать и потенциал, в котором нормируемое состояние имеет энергию выше любого его горба.
Уже много раз убеждался, что записи в блоге очень удобно использовать для быстрого доступа к тем вопросам, которые когда-то давно разбирал. Особенно, если вдруг возникает горячий научный спор с переходом на личности. Поэтому запишу недавнее разбирательство.
$\newcommand{\sh}{\operatorname{sh}}
\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
$
Возник недавно вопрос про задачу Коши для уравнения Клейна-Фока-Гордона.
Культурно эта задача решается через функции Грина второго рода. Ну,
то есть нужно сначала найти функцию Грина первого рода, а затем, по
известным правилам найти функции Грина для указанной задачи Коши.
Но действовать
нужно предельно осмотрительно, чтобы не пропустить обобщённые функции.
Поучителен другой способ, основанный на знании общего решения уравнения
Клейна-Фока-Годона. Как мы учим студентов, это общее решение имеет
вид
\begin{equation}
\phi\left(t,\boldsymbol{x}\right)=\int\frac{d\boldsymbol{p}}{\left(2\pi\right)^{3}2\varepsilon}\left[C_{1}\left(\boldsymbol{p}\right)e^{-i\varepsilon t+i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}}+C_{2}\left(\boldsymbol{p}\right)e^{i\varepsilon t-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}}\right]\,,\label{eq:generalCondition}
\end{equation}
где $\varepsilon=\sqrt{\boldsymbol{p}^{2}+m^{2}}$, а $C_{1,2}\left(\mathbf{p}\right)$
--- функции, которые мы хотим выразить через $f\left(\boldsymbol{x}\right)$
и $g\left(\boldsymbol{x}\right)$. Это довольно просто: используя
(\ref{eq:generalCondition}), вычисляем $\phi\left(0,\boldsymbol{x}\right)$
и $\dot{\phi}\left(0,\boldsymbol{x}\right)$, и с помощью обратного
преобразования Фурье получаем
\begin{align*}
C_{1}\left(\boldsymbol{p}\right) & =\int d\boldsymbol{y}\,e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{y}}\left[\varepsilon f\left(\boldsymbol{y}\right)+ig\left(\boldsymbol{y}\right)\right]\,,\\
C_{2}\left(\boldsymbol{p}\right) & =\int d\boldsymbol{y}\,e^{i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{y}}\left[\varepsilon f\left(\boldsymbol{y}\right)-ig\left(\boldsymbol{y}\right)\right]\,.
\end{align*}
Подставляя в (\ref{eq:generalCondition}), получаем
\[
\phi\left(t,\boldsymbol{x}\right)=\int\frac{d\boldsymbol{p}}{\left(2\pi\right)^{3}\varepsilon}\int d\boldsymbol{y}\left\{ f\left(\boldsymbol{y}\right)\varepsilon\cos\left[\varepsilon t-\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\right]+g\left(\boldsymbol{y}\right)\sin\left[\varepsilon t-\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\right]\right\}
\]
Но мы хотим взять интеграл по $\boldsymbol{p}$, и вот здесь следует
действовать аккуратно. Нужно взять два базисных интеграла:
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=\int\frac{d\boldsymbol{p}}{\left(2\pi\right)^{3}\varepsilon}\sin\left[\varepsilon t-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right]\,,\quad F\left(t,\boldsymbol{r}\right)=\int\frac{d\boldsymbol{p}}{\left(2\pi\right)^{3}}\cos\left[\varepsilon t-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right]\,.
\]
Точнее, интеграл $F$ нам отдельно считать не надо, так как $F=\dot{G}$.
Для $G$, интегрируя по углам, получаем
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=\frac{4\pi}{\left(2\pi\right)^{3}r}\Im\intop_{0}^{\infty}dp\frac{p}{\varepsilon}e^{i\varepsilon t}\sin\left(pr\right)\,.
\]
Рисунок 1. Функция $A\left(r\right)=\Im K_{0}\left(-im\sqrt{\left(t+i0\right)^{2}-r^{2}}\right)$.
Интеграл сходится весьма условно, и чтобы придать ему строгий смысл,
будем считать, что у $t$ есть малая положительная мнимая часть. Поскольку
подынтегральное выражение естественно продолжается как чётная функция
$p$, заменяем $\intop_{0}^{\infty}\to\frac{1}{2}\intop_{-\infty}^{\infty}$,
а вместо $\sin\left(pr\right)$ пишем $ie^{-ipr}$. Затем переходим
к новой переменной, подставляя $p=m\sh y$. Получаем
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=\frac{m}{\left(2\pi\right)^{2}r}\Re\intop_{-\infty}^{\infty}dy\sh ye^{imt\ch y-imr\sh y}\,.
\]
Из этой формулы легко заметить, что $G$ является нечётной функцией
$t$, так что далее будем считать, что $\Re t>0$. Грабли, на которые
нелегко не наступить, состоят в том, что можно пропустить обобщённые
фунции с носителем на световом конусе $t=r$. Признаюсь, что мне эти
грабли обойти с первого раза не удалось. Отчасти, это обстоятельство
и побудило написать эту памятку. Итак, наученный опытом, я поступлю
здесь так: сначала избавимся от $\sh y$ в предэкспоненте, выразив
его через производную по $r$. Затем введём параметр $z$, такой,
что $r/\sqrt{t^{2}-r^{2}}=\sh z$. Получим
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=-\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}r}\partial_{r}\Im\intop_{-\infty}^{\infty}dye^{im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\ch\left(y-z\right)}\,.
\]
Учитывая, что $\Im t>0$ и $\Re t>0$, можно сделать сдвиг $y\to y+z$
и тогда интеграл сводится к $K$-функции Бесселя:
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=-\frac{1}{2\pi^{2}r}\partial_{r}\Im K_{0}\left(-im\sqrt{\left(t+i0\right)^{2}-r^{2}}\right)
\]
Характерный вид графика функции $A\left(r\right)=\Im K_{0}\left(-im\sqrt{\left(t+i0\right)^{2}-r^{2}}\right)$
показан на рисунке 1. Аргумент $K_{0}$ становится
вещественным положительным при $r>t$ и поэтому $\Im K_{0}$ равно
нулю в этой области. В точке $r=t$ функция имеет разрыв, причем $f\left(t-0\right)=\frac{\pi}{2}$.
Таким образом,
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=-\frac{1}{2\pi^{2}r}\partial_{r}\theta\left(t-r\right)\Im K_{0}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)
\]
Вычисляя производную по $r$, получаем
\[
G\left(t,\boldsymbol{r}\right)=\frac{m}{2\pi^{2}}\Re\frac{K_{1}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)}{\sqrt{t^{2}-r^{2}}}\theta\left(t-r\right)+\frac{1}{4\pi r}\delta\left(t-r\right)\,.
\]
Функция $B\left(r\right)=-\Re\frac{K_{1}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)}{\sqrt{t^{2}-r^{2}}}\theta\left(t-r\right)$
ведёт себя абсолютно аналогично $A\left(r\right)$, причём $B\left(t-0\right)=\frac{\pi}{4}$.
Поэтому для функции $F$ получаем
\begin{align*}
F\left(t,r\right) & =\dot{G}\left(t,\boldsymbol{r}\right)=-\frac{m^{2}}{2\pi^{2}}\frac{t}{t^{2}-r^{2}}\Im K_{2}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)\theta\left(t-r\right)-\frac{m^{2}}{8\pi}\delta\left(t-r\right)+\frac{1}{4\pi r}\delta^{\prime}\left(t-r\right)\,.
\end{align*}
Всё это богатство с $\delta$ и $\delta^{\prime}$ в $F$ можно получить,
если аккуратно вычислить $F\left(t,r\right)$ как предел $\lim_{\epsilon\to+0}\tilde{F}\left(t+i\epsilon,r\right)$,
где
\[
\tilde{F}\left(t,r\right)=-\frac{m^{2}}{2\pi^{2}}\Im\left[\frac{t}{t^{2}-r^{2}}K_{2}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)\right]\,.
\]
Если у кого есть плагин от Wolfram Mathematica для просмотра cdf-формата,
то можно самому поиграть с $\tilde{F}\left(t+i\epsilon,r\right)$:
Учитывая антисимметрию $G$ и симметрию $F$ при обращении времени,
получаем
\begin{align}
G\left(t,\boldsymbol{r}\right) & =\frac{m\mathrm{sgn}t}{2\pi^{2}}\Re\frac{K_{1}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)}{\sqrt{t^{2}-r^{2}}}\theta\left(\left|t\right|-r\right)+\frac{1}{4\pi r}\delta\left(\left|t\right|-r\right)\,,\nonumber \\
F\left(t,\boldsymbol{r}\right) & =-\frac{m^{2}}{2\pi^{2}}\frac{\left|t\right|\Im K_{2}\left(-im\sqrt{t^{2}-r^{2}}\right)}{t^{2}-r^{2}}\theta\left(\left|t\right|-r\right)-\frac{m^{2}}{8\pi}\delta\left(\left|t\right|-r\right)+\frac{1}{4\pi r}\delta^{\prime}\left(\left|t\right|-r\right)\,.\label{eq:result}
\end{align}
В моей первой, торопливой попытке я потерял последние члены в $G$
и, естественно, в $F$. Видимо, сработало какое-то давнишнее предубеждение
против выражений, содержащих одновременно $\theta\left(x\right)$
и $\delta\left(x\right)$.
Полученные выражения очень даже замечательны. Хотя
\[
K_{1}\left(-iy\right)\sim\frac{i}{y}\ \&\ K_{2}\left(-iy\right)\sim-\frac{2}{y^{2}}
\]
при $y\to0$, тем не менее,
\[
\Re K_{1}\left(-iy\right)\sim-\frac{\pi}{4}y\ \&\ \Im K_{2}\left(-iy\right)\sim-\frac{\pi}{16}y^{2}\,,
\]
и первые члены в (\ref{eq:result}) оказываются конечными. Окончательно,
получаем следующее решение
\[
\phi\left(t,\boldsymbol{x}\right)=\int d\boldsymbol{y}\left\{ F\left(t,\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)f\left(\boldsymbol{y}\right)+G\left(t,\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)g\left(\boldsymbol{y}\right)\right\} \,.
\]
Интересно проследить стремление $\phi\left(t,\boldsymbol{x}\right)$
к $f\left(\boldsymbol{x}\right)$ и $\dot{\phi}\left(t,\boldsymbol{x}\right)$
к $g\left(\boldsymbol{x}\right)$ при $t\to0$. Как ни удивительно,
трёхмерная $\delta$-функция от $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}$
реализуется как предел $\lim_{t\to0}\frac{1}{4\pi r}\delta^{\prime}\left(\left|t\right|-r\right)$.
P.S. Вообще-то, эту задачу я предложил студентам в качестве домашней на ближайшую неделю, но если кто вдруг и зайдёт сюда и разберётся, то и ладно.
Что писать в труды конференции --- всегда для меня проблема. С одной
стороны доклад обычно уже делается по опубликованной работе, а с другой
--- терпеть не могу писать уже написанное. Поэтому пытаюсь всунуть в
свой вклад хоть что-то новое. Вот, в последний такой опус,
вышедший сегодня, написал свои не до конца продуманные идеи про
редукцию в параметрическом представлении. Среди прочего, использовал
свойства следующего интегрального (точнее, наполовину интегрального,
наполовину дифференциального) преобразования.
Рассмотрим линейное
пространство гладких функций $\phi(x)$ на $[0,\infty)$, спадающих
быстрее любого полинома на бесконечности и разложимых в ряд Тейлора в
окрестности нуля. Определим в этом пространстве преобразование
\[\phi(x)\to \tilde{\phi}_m=I^m[\phi],\,m\in\mathbb{Z}\,,\] где
$I^m[\phi]$ --- такой функционал
\[I^m[\phi]=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^\infty dx
x^{m-1}\phi(x)\,,& m>0\\ (-1)^m\phi^{(-m)}(0)\,,&m\leqslant
0\end{array}\right.\]
Красота этого определения --- в том, что
справедливы следующие формулы \[I^m[-d\phi/dx]=I^{m-1}[\phi]\,,\quad
I^m[x\phi]=m I^{m+1}[\phi]\] Вот интересно, как написать обратное
преобразование (если оно существует, конечно)?
Для профилактики слабоумия начал опять решать задачи на Diofant.ru. Вчера вот такую задачу увидел
ЗАДАЧА 981 (Diofant.ru). Перпендикуляр к диаметру
'Дана окружность o и прямая линия l, которая проходит через ее центр. На окружности отмечена точка A, не лежащая на прямой. При помощи одной линейки без делений постройте перпендикуляр от точки к прямой.
Для решения таких задач я использую свой скрипт. Решить-то я решил, но поскольку задача проверяется в ручном режиме, надо было еще написать решение.
Поэтому вчера я немного допилил скрипт (если кому-то интересно, смотреть как его подключить в коде) и теперь он худо-бедно документирует действия.
Вот, можно попробовать решить вышеупомянутую задачу.
Точки на пересечениях двух объектов ставятся их последовательным выделением (при включенном инструменте line).
Есть квантовый компьютер с памятью 3 кубита. Определим однобитовые гейты\[\mathrm{H1}=\mathrm{Not}=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\,,\quad \mathrm{H2}=\mathrm{H}=\frac1{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right)\,,\quad \mathrm{H3}=\frac1{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}&1\\1&-\sqrt{2}\end{array}\right)\]
и их управляемые варианты $\mathrm{cnH1}\,,\ \mathrm{cnH2}\,,\ \mathrm{cnH3}$, которые выполняют над битом соответствующее преобразование только если остальные два бита равны единице.
Система комманд нашего компьютера состоит из четырех комманд: $\mathrm{H1}\,,\ \mathrm{cnH1}\,,\ \mathrm{cnH2}\,,\ \mathrm{cnH3}$.
Надо написать алгоритм, который при подаче на вход двоичного числа от 0 до 7 строит состояние (с определенным спином и проекцией) с соответствующим номером:
Все, наверное, слышали о квантовых компьютерах, которые, ну вот
совсем скоро, будут созданы и будут решать все задачи, которые обычным,
классическим компьютерам не по зубам. Я о них, видимо, в первый раз
услышал где-то году в 97, сразу после прослушивания лекций по
криптографии, в которых как раз объяснялась криптосистема с открытым
ключом, основанная на сложности задачи факторизации. Поэтому важность
алгоритма Шора я понял довольно быстро и при случае гордо объяснял всю
историю.
Замечу, что никогда ни на одну секунду я не допускал, что
реальный квантовый компьютер будет создан в обозримом будущем (ну,
скажем, лет за сто). Под "реальным квантовым компьютером" я понимаю,
конечно, устройство, способное успешно конкурировать с обычными
классическими компьютерами, а не просто раскладывать на множители число
15. Однако новости от компании D-wave, если им верить, показывают, что
пора уже подумать о новой специальности в CS --- квантовый программист, а
азы квантовой информатики нужно учить в школах и детских садах.
Ниже
--- мой вклад в дело ликвидации квантовой компьютерной безграмотности.
Это симулятор двухбитного квантового компьютера с набором комманд
{Not,H,cNot,cH}, где две первые комманды --- однобитовые квантовые
гейты, а две последние --- двухбитовые. Полноценную программу писать
пока нельзя (возможно, в последующих постах это будет реализовано), так
что работать можно в интерактивном режиме. Задача --- написать программу
производящую определенное преобразование над входными данными. Сейчас
объясню какое.
Кубит, как известно, --- двухуровневая
квантовомеханическая система, и одной из ее естественных реализаций
(хотя, возможно, не на практике) является спин 1/2. Нолик и единица
представляются как \[|0\rangle=|\downarrow\rangle\,,\quad
|1\rangle=|\uparrow\rangle\,.\] Квантовый регистр (так сказать,
курегистр), соответственно, это набор кубитов, которые могут находится в
запутанных состояниях. Квантовое вычисление состоит в выполнении
некоторого преобразования над курегистром. Напомним, кстати, важное
отличие квантового вычисления от классического. В классическом
вычислении одной из самых популярных операций является операция
присваивания. Можно присвоить любому биту заданное значение ноль или
единица. В частности, можно очистить регистр, присвоив всем его битам
значение ноль. В квантовом вычислении операция присваивания невозможна,
поскольку она нарушает унитарность. То же самое можно сказать и про
операцию копирования. А вот операция инверсии бита Not, которая меняет
ноль на единицу, и наоборот --- возможна. В значительной степени
последствия унитарности можно описать как обратимость любого вычисления:
зная output и зная программу вычисления можно однозначно восстановить
input (в частности, в процессе квантового вычисления ничего нельзя
стереть бесследно). Нужно, правда, сказать, что унитарность, и, в
частности, обратимость не сильно мешают для симуляции классических
вычислений. Просто надо добавить дополнительные биты, заранее установленные в определенное состояние. Кстати, легко сообразить, что максимально необходимое число дополнительных битов равно числу основных.
Итак, любое квантовое вычисление является унитарным преобразованием над курегистром.
Унитарное
преобразование может затрагивать один или несколько битов. Важно, что
любое унитарное преобразование может быть реализовано как суперпозиция
одного типа двухбитного преобразования, cNot, и однобитных
преобразований общего вида. С учетом линейности этих преобразований, их
можно задать действием на базисные состояния: \[\mathtt{cNot}_{i,j}:
|0_i,q_j\rangle\to |0_i,q_j\rangle\,,\quad |1_i,q_j\rangle\to |1,\bar{q}_j\rangle\,,\]
\[\left(\begin{array}{2}a&b\\c&d\end{array}\right)_{i}: |0_i\rangle\to a|0_i\rangle+b|1_i\rangle\,,\quad |1_i\rangle\to c|0_i\rangle+d|1_i\rangle\,.\] Здесь $\bar{0}=1\,,\ \bar{1}=0$, а во второй строчке $\left(\begin{array}{2}a&b\\c&d\end{array}\right)$ --- унитарная матрица. Операции $\mathtt{Not}$ и $\mathtt{H}$ являются частными случаями однобитовых операций: \[\mathtt{Not}_i=\mathtt{X}_i=\left(\begin{array}{2}0&1\\1&0\end{array}\right)_{i}\,,\quad \mathtt{H}_i=\left(\begin{array}{2}1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\end{array}\right)_{i}\]
Операцию
$\mathtt{cNot}$ удобно записать через проекторы:
\[\mathtt{cNot}_{i,j}=\mathtt{P}^0_i\otimes \mathtt{I}_j+\mathtt{P}^1_i
\otimes \mathtt{Not}_j\,,\] где $\mathtt{P}^0_i=\left(\begin{array}{2}0&0\\0&1\end{array}\right)_i\,,\,\, \mathtt{P}^1_i=\left(\begin{array}{2}1&0\\0&0\end{array}\right)_i$. Используя свойства проекторов легко проверить, что $\mathtt{cNot}$ -- действительно унитарная операция. Для удобства наш квантовый процессор в числе комманд будет иметь еще одну двухбитовую унитарную операцию
\[\mathtt{cH}_{i,j}=\mathtt{P}^0_i\otimes \mathtt{I}_j+\mathtt{P}^1_i
\otimes \mathtt{H}_j\,,\]
Ну вот, теперь можно сформулировать и задачу. На вход программы подаются запутанные состояния двух кубитов, соответствующие определенным спинам и проекциям спина системы: \[|S=0,S_z=0\rangle=\frac1{\sqrt{2}}\left(|01\rangle-|10\rangle\right)\]
\[|S=1,S_z=-1\rangle=|00\rangle,\quad |S=1,S_z=0\rangle=\frac1{\sqrt{2}}\left(|01\rangle+|10\rangle\right), \quad |S=1,S_z=1\rangle=|11\rangle.\]
Наша задача --- придумать алгоритм, который переставляет по циклу проекции. То есть, программа, получив на вход состояние $|S,S_z\rangle$ с $S_z<S$ должна выдавать состояние $|S,S_z+1\rangle$, а состояние $|S,S_z=S\rangle$ должна переводить в $|S,S_z=-S\rangle$.
Интерфейс такой: чтобы провести двухбитовую операцию (cNot или cH), нажимаем сначала на кнопку над первым битом, а затем над вторым. Однобитовые операции (Not или H) получаются двойным нажатием одной кнопки. Когда состояние уже такое, какое требуется, оно выделяется зеленым цветом. Например, $|S=0,S_z=0\rangle$ сразу зеленое, так как оно должно остаться на месте.
Что-то стал за собою замечать, что совсем разучился в качестве отдыха и развлечения читать художественную литературу. Вместо этого читаю какие-нибудь книжки по математике, которые поинтереснее и, по возможности, попроще.
Вот, недавно стал читать книгу Конвея "О числах и играх". Много лет назад прочитал вот здесь про комбинаторную теорию в Го. В частности, прочитал про инфинитезимали, и это было круто. Сейчас решил перечитать, и нашел ссылку на Конвея. Вот цитата из первого параграфа:
"Дедекинд (а до него автор — как считается, Евдокс — пятой книги Евклида) строил вещественные числа из рациональных. Его метод заключался в том, чтобы разделить рациональные числа на два множества L и R так, чтобы ни одно число из L не было больше никакого числа из R, и использовать это "сечение" для определения нового числа {L | R} в случае, если ни L и R не имеют экстремальной точки."
Фактически, вот это самое дедекиндовское определение и берется далее за основу:
"Если L, R — два множества чисел, и ни один элемент из L не ⩾ любого элемента из R, то есть число {L | R}. Все числа строятся таким образом."
Отличие от дедекиндовского определения в том, что никаких чисел adhoc вводить не требуется. Конечно, еще нужно определить отношение ⩾ для таких чисел и операцию сложения (интересующимся смотреть книжку). Последняя позволяет отождествить определяемые числа с нормальными. Например, ноль выглядит как {∅ |∅}={|}. Вообще, одно и то же число можно представить разными способами, но это не страшно, с обыкновенными дробями тоже так.
Но, конечно, самое интересное начинается, если рассматривать пары {L|R}, в которых нет условий на элементы. Получаем определение комбинаторных игр на двоих:
"Если L, R — два множества игр, то есть игра {L | R}. Все игры строятся таким
образом."
Игры тоже можно складывать и вычитать. Числа в этом подходе — частный случай игр. А есть игры, числами не являющиеся, в частности, упомянутые инфинитезималы. Но про это как-нибудь в другой раз.
Ну, и скрипт, конечно. Кстати, обнаружил, что поддерживается ползунок — <input type="range" min="0" max="10"... />.
