Основной инстинкт

Подсмотрено в CERN Courier за чашкой утреннего кофе. Видео с сайта Science Friday. Сайт, похоже, любопытный.

P.S. Связь в конторе стала пристойной, что не может не радовать.

Обман студентов

Хороший преподаватель должен обманывать студентов (Некоторые, правда, обманывают, не отдавая себе в этом отчет, что имеет свои плюсы и минусы). Приведу два примера.

Все студенты, специализирующиеся в физике элементарных частиц, атомной физике и т.п., изучают релятивистские поправки $\sim v^2/c^2$ к гамильтониану, то, что называется гамильтонианом Брейта. Этот гамильтониан выводится следующим образом. Сначала вычисляется амплитуда $M_{fi}$ рассеяния двух частиц и раскладывается по параметру $v/c$. Затем эта амплитуда сравнивается с борновской амплитудой $-V_{fi}$ в нерелятивистской квантовой механике для некоторого потенциала $V$. Получается $$V_{fi}=\frac{-M_{fi}}{\sqrt{2\varepsilon'_2}\sqrt{2\varepsilon'_1}\sqrt{2\varepsilon_2}\sqrt{2\varepsilon_1}},$$ где $\varepsilon_{1,2}$ и $\varepsilon'_{1,2}$ — энергии начальных и конечных частиц. Вспоминая, что $V_{fi}$ —просто преобразование Фурье от потенциала, делаем обратное преобразование и дело в шляпе. Получили потенциал взаимодействия вместе с первой поправкой по релятивизму. Ну, еще, конечно, кинетические члены $-p_{1,2}^2/8m^3$ нужно добавить. Ну и где же здесь обман?

Чтобы сделать обратное преобразование Фурье, нам нужно, чтобы передача $\mathbf{q}$ была независимой переменной. Посчитаем число свободных параметров. $$4\times4(\text{4-импульсы начальных и конечных частиц})-4(\text{закон сохранения})-4(\text{связь} p_i^2=m_i^2)=8$$ Получили, что амплитуда на массовой поверхности имеет восемь независимых параметров. А сколько же нам надо? Девять, по три на каждый вектор $\mathbf{p}_1$, $\mathbf{p}_2$, $\mathbf{q}$. Значит, между этими векторами есть одна связь. И действительно, выражая $q_0$ двумя разными способами, получаем связь $$С=\frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}-\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}=0$$ А как же мы тогда делали преобразование Фурье...? Добавим к $V_{fi}$, например, $0=\frac{C^2}{\mathbf{q}^4}$ и получим другой потенциал.

На практике, при вычислении в кулоновской калибровке, вопроса не возникает, потому что $q_0$ в ответе не появляется, и не надо думать на что его заменять. В ковариантной калибровке уже появляется $q_0^2$ и правильная прескрипция состоит в том, чтобы заменить $$q_0^2\to \frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}\times\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}.$$ Объяснение ограничивается словами: "этот рецепт обеспечивает зануление $q_0^2$ в пределе, когда одна из частиц становится бесконечно тяжелой". Ясно, что, по сути, это обман и более правильное рассмотрение должно быть основано, например, на уравнении Бете-Солпитера. Мне лично вообще не понятно, можно ли проблему связанных состояний сформулировать строго (пост отчасти навеян прочтением недавней статьи Ефимова в архиве. В статье, на мой взгляд, содержится, как минимум, логический прокол, но мысль понятна). Но студентам это объяснение не осилить, по-крайней мере, за разумное для всего курса время. Поэтому, проще всего здесь их обмануть. Я, собственно, в свою бытность студентом и не знал что меня обманули, а понял это только когда сам с этим стал разбираться.

Второй пример касается перенормировки электромагнитного тока в КЭД. Открываем, например, Ченга&Ли и читаем (изложение вольное):

Рассмотрим трехточечную функцию Грина $$G_{\mu}(p,q)=\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\phi(y)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ и пропагатор $$\Delta(p)=\int dx\,e^{-ipx}\langle\mathrm{T}\phi(x)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ (Здесь под знаком T-упорядочивания стоят гейзенберговские операторы). Тождество Уорда — связь между этими функциями: $$-iq^{\mu}G_{\mu}(p,q)=\Delta(p+q)-\Delta(p)$$. Перенормированные функции определяются соотношениями \begin{eqnarray}G^{R}_{\mu}(p,q)&=&Z_{\phi}^{-1}Z_J^{-1}G_{\mu}(p,q)\nonumber\\\Delta^{R}(p)&=&Z_{\phi}^{-1}\Delta(p)\end{eqnarray} Подставляя в тождество Уорда, получаем $$-iq^{\mu}Z_JG^{R}_{\mu}(p,q)=\Delta^R(p+q)-\Delta^R(p)$$. Поскольку правая часть не зависит [в размерностной регуляризации] от точки вычитания, величина $Z_J$ в левой части также не должна зависеть от точки вычитания. Другими словами, сохраняющийся ток не перенормируется.

Этот пассаж сделан для теории $\phi^4$, и в этой теории вывод правилен. Но в КЭД, за исключением тривиального случая, нужно включить взаимодействие с э/м полем $A$. Вопрос: что окажется неправильным в вышеприведенном пассаже?

Неправильной оказывается молчаливо подразумевающаяся мультипликативная перенормируемость оператора $J_\mu$. На самом деле, этот оператор в результате взаимодействия смешивается с оператором $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$.

Уже в одной петле мы можем это понять. Как обычно, пишем $$\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle=\langle\mathrm{T}J_{I\mu}(x)\psi_I(y)\bar\psi_I(0)\cdot\exp\left[-ie\int dx (A_I\cdot J_I)\right]\rangle$$ Здесь индекс $I$ относится к операторам в представлении взаимодействия. Если просто заменяем экспоненту на единицу, получаем борновский м.э. Дальше мы должны разложить экспоненту до второго члена, вычислить матричный элемент в размерностной регуляризации и взять из него $1/\epsilon$ члены. Если оператор перенормируется мультипликативно, то при них должна собраться борновская структура (с коэффициентом). Спаривание операторов приводит к следующим диаграммам:

Расходящаяся часть (РЧ,члены $1/\epsilon$ в размерностной регуляризации) есть во всех четырех. РЧ первых трех диаграмм пропорциональны борновскому результату ($\propto \gamma_{\mu}$, если ампутировать внешние концы). Более того, РЧ первой диаграммы можно отнести к $Z_{\psi}$, а РЧ второй сокращается с РЧ третьей, что можно проверить прямым вычислением. Все было бы хорошо, если бы не последняя, четвертая диаграмма. РЧ этой диаграммы имеет другую структуру ($\propto \gamma^{\nu}(q_{\nu}q_{\mu}-q^2 g_{\nu\mu})$), что совпадает с борновской структурой для оператора $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$ в таком же матричном элементе $$\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}(\partial^{\nu}F_{\nu\mu})(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle\,.$$ Это и показывает смешивание операторов $J$ и $\partial F$. Кто хочет бОльших красот и строгости, смотреть статью Collins,Manohar&Wise. Опять-таки, стоит ли это обсуждать со студентами? Или пусть они лучше запомнят, что сохраняющийся ток не перенормируется? Это утверждение, хотя, как любое категорическое, и не правильное, но все-же физически важное. Так же, как и мое утверждение про обман студентов.

P.S. Мне, кстати, обман обычно не удается, и я начинаю бормотать "правильное объяснение", пытаясь уложиться в одну фразу, что понимания не прибавляет.

Принцип суперпозиции

Недавно (мм..., пока писал пост стало уже не так недавно), придя утром на работу, зацепился за одного коллегу темой о квантовой механике. Точнее, он за меня зацепился. Пока говорили, я вспомнил, что эту тему мы уже один раз обсуждали. Речь шла о процессе измерения и физическом смысле волновой функции. Как известно, последний состоит в том, что квадрат оной пропорционален вероятности обнаружить частицу в данном состоянии (в координатном представлении - в данной точке, в импульсном - с данным импульсом, и т.д.). Таким образом, этот физический смысл завязан за процесс измерения. С другой стороны, в квантовой механике вся динамика задается уравнением Шредингера, а значит процесс измерения должно также описать в рамках этой динамики. Но вот это описание, как раз, не так просто придумать. Точнее, вроде довольно очевидно, что это невозможно. На следующий день попробовал обсудить вопрос со старшим коллегой Ч., но кроме надрывания глоток во время сугубо научной дискуссии, лишь изредка переходящей на личности, никакого положительного опыта не получил.

Попробую объяснить проблему. Оставим в стороне все нюансы, связанные с релятивистской теорией поля, а будем считать, что все важные для нас моменты можно изучить на квантовой механике. В квантовой механике у нас есть уравнение Шредингера, которое прекрасно описывает динамику системы. Ну решили мы это уравнение, остается вопрос: как сравнить наше решение с экспериментом? Ответ-то мы знаем: волновая функция позволяет вычислить вероятность того или иного исхода измерения. Но этот ответ является, конечно, практически очень полезным и успешным, но все-же ни откуда не следующим рецептом, который позволяет связать наш вымышленный мир, в котором существует волновая функция, и реальный мир с его измерениями. Привыкнуть к этому рецепту очень даже можно, нет вопросов. Можно даже волновую функцию в каком-то смысле измерять: возьми набор идентичных систем и измеряй разные проекции (точнее, квадраты их модулей) в.ф., а потом по этим измерениям определяй в.ф. Но ведь прибор --- это тоже часть нашего мира, а значит, тоже подчиняется, по нашим предположениям, законам квантовой механики. Пусть прибор — некоторая сложная квантовомеханическая система. Процесс измерения состоит во включении некоторого взаимодействия прибора с наблюдаемым объектом. Последний для простоты выберем, например, прибитой гвоздями частицей со спином 1/2, а прибор хотим сконструировать так, чтобы он измерял проекцию спина на ось z. Хотим, конечно, чтобы прибор был идеальным, т.е., при состоянии частицы |↑⟩ он всегда показывал ⬆, а при |↓⟩ — ⬇. Что значит "показывал"? Это значит, что у прибора есть, например, два набора попарно ортогональных состояний ⬆={|⬆₁⟩,|⬆₂⟩,...} и ⬇={|⬇₁⟩,|⬇₂⟩,...} и в результате взаимодействия с |↑⟩ прибор переходит в состояние, являющееся линейной комбинацией состояний из первого набора, а в результате взаимодействия с |↓⟩ — в состояние, являющееся линейной комбинацией состояний из второго набора. Вообще говоря, нас устроит и если система прибор+объект после измерения будет находиться в запутанном состоянии типа α|⬆₁⟩|↑⟩+β|⬆₂⟩|↓⟩ для начального состояния |↑⟩ объекта и в состоянии типа α|⬇₁⟩|↑⟩+β|⬇₂⟩|↓⟩ для начального состояния |↓⟩ объекта. Но это дальнейших рассуждений не портит.

Возьмем теперь объект в состоянии |→⟩=(|↑⟩+|↓⟩)/√2. Что должен показывать наш прибор после измерения?  Мы хотим, чтобы он с равной вероятностью показывал ⬆ и ⬇. Когда мы говорим о вероятности, мы имеем в виду возможность различных исходов измерения в зависимости от начального состояния прибора и способа включения его взаимодействия с наблюдаемым объектом. При этом, в каждом конкретном измерении прибор показывает либо ⬆, либо ⬇, но не линейную комбинацию, на то он и классический. Так вот, принцип суперпозиции говорит нам, что такого прибора не может быть. Линейность уравнения Шредингера говорит нам, что наш прибор будет находиться как раз в смешанном состоянии, которое включает в себя и состояния из набора ⬆ и состояния из набора ⬇. Невозможность описать процесс измерения в рамках квантовой механики означает что квантовая механика не полна. А почему тогда этим вопросом никто не занимается? Или занимается?

 

В очереди

В очередной раз стоя в очереди на автобус, придумал задачу:

Ты стоишь в очереди на автобус. Перед тобой $n$ человек. Автобус приходит каждые десять минут. За это время к каждому человеку в очереди (включая тебя самого) с вероятностью $\frac{1}{2}$ подходит знакомый и встает впереди. Чему равна вероятность того, что ты в конце концов уедешь, если в автобус входит $k$ человек?

Я пока даже для $n=k=1$ не решил, но проверил с помощью pslq, что $P(n=1,k=1)$ не является алгебраическим числом.

Жажда творчества

Когда нет возможности делать хоть что-нибудь новое на работе (по причине навалившейся рутины), приходится отводить душу на всякой ерунде. Вчера просмотрел забавный ролик на Youtube (в моей живой ленте есть) и не смог удержаться от того чтобы написать демонстрашку. Если вы еще не посмотрели ролик, попробуйте ответить на следующий вопрос. На рисунке изображена тележка(зеленая) на двух колесах (синих). Сверху лежит катушка от ниток (красная), которая внутренним диаметром касается колес. Еще выше изображена линейка, которую мы собираемся тянуть, скажем, вправо. Вопрос такой: куда поедет тележка?

---

---

PS Да, чуть не забыл, если хочется проверить свою догадку, кликните на линейку.
PPS В хроме линейка проскальзывает.

Задача

Недавно прочитал в википедии забавную статью и написал скрипт в духе "Petals around the rose".

---

1

---

Ну, вопрос, понятно, как это работает.
PS Только нецелые числа вводить не надо, а то зациклится.

В борьбе за аудиторию

Вчера убил вечер, пытаясь заставить блоггер показывать математические формулы во всех браузерах. Ну, по-крайней мере, в Firefox, Opera и Chrome.
Гришино решение, конечно, впечатляет. Везде выглядит нормально, даже на смартфоне (он его, правда, по-другому называет). Но если заглянуть в код, то видно, что эта красота нерукотворная создана посредством шинкования пространства с помощью клеток таблицы. Это означает, что обратный процесс перевода в человеческий формат едва ли возможен. А теперь допустим появится через полгодика идеальный способ воспроизводить формулы в вебе. Тогда эта красота останется не у дел, не исправить ее, не использовать повторно будет невозможно. Так что такой подход, по-моему, даже хуже замены формул картинками. А полная масштабируемость, ну кому она особенно нужна? Картинки ведь тоже можно немного растянуть если очень хочется.
Так что я решил остаться на MathML. Фактически, это означает, что формулы у меня в блоге нормально выглядели только в FF. Вчера я нашел в и-нете проект под названием MathJax и он мне показался ничего. Синтаксис копирует MathML, заменяя родные <mrow...></mrow> таги на что-то типа <span class='mrow'...></span> и т.д.
Одна проблема, все работает, когда он установлен на том же сервере, что и страничка, на которой он используется. Дело оказалось в излишней подозрительности современных браузеров. При попытке на лету добыть нужные шрифты с http://www.mathjax.org они применяют same-origin security policy и не грузят шрифты. Утверждалось, что это исключительно проблемы FF, но вскрытие показало, что и современная Opera тоже не лучше. В Chrome, впрочем, все работает. Нужно просто вставить

<script src="http://www.mathjax.org/MathJax/MathJax.js">
    MathJax.Hub.Config({
    delayStartupUntil: "onload",
    jax: ["input/MathML", "input/TeX", "output/HTML-CSS"],
    extensions: ["tex2jax.js"],
    tex2jax: {
      inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], 
      processEscapes: 1
    }
  });
</script>

куда-нибудь в голову страницы.
В результате я сделал так, чтобы в FF работал прежний скрипт LaTeXMathML.js, а в остальных браузерах MathJax. Но, как я уже сказал, в Опере рецепт не работал. Помогло просто тупое скачивание шрифтов с сайта MathJax и установка .otf версий в систему. Теперь, наверное, и в FF работал бы MathJax, но ведь не все захотят шрифты устанавливать.

PS. Забыл какую-нибудь тестовую формулу вставить. Вот

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dx\int_{-\infty}^{\infty} dy \frac{x^2-y^2}{(1+x^2+y^2)^2}=? \]