Разложение на простые дроби (профессиональное)

Сегодня вспомнил, общаясь с дочкой, как в школе учат раскладывать на простые дроби. Для правильных дробей с square-free знаменателями от одной переменной рецепт формулируется так. Записываем сумму простых дробей с неопределенными коэффициентами $A,\ B,\ C$: \begin{equation*}\frac{x^2-8x-3}{(x-{\color{red}1})(x-{\color{green}3})(x-{\color{blue}6})}=\frac{A}{x-{\color{red}1}}+\frac{B}{x-{\color{green}3}}+\frac{C}{x-{\color{blue}6}}\end{equation*} Затем приводим к общему знаменателю, собираем в числителе коэффициенты при разных степенях $x$ и получаем линейную систему на $A,\ B,\ C$: \begin{align*}
A+B+C&=1,\\-9 A-7 B-4 C&=-8,\\18 A+6 B+3 C&=-3.
\end{align*}Решая эту  систему, наконец, находим \begin{equation*}
\frac{x^2-8x-3}{(x-{\color{red}1})(x-{\color{green}3})(x-{\color{blue}6})}=-\frac{1}{x-{\color{red}1}}+\frac{3}{x-{\color{green}3}}-\frac{1}{x-{\color{blue}6}}
\end{equation*} И да, я, вроде, тоже так когда-то делал. Пока не знал ТФКП.
А теперь я делаю так:\begin{multline*}
\frac{x^2-8x-3}{(x-{\color{red}1})(x-{\color{green}3})(x-{\color{blue}6})}=\frac{{\color{red}1}^2-8\cdot{\color{red}1}-3}{(x-{\color{red}1})({\color{red}1}-{\color{green}3})({\color{red}1}-{\color{blue}6})}\\
+\frac{{\color{green}3}^2-8\cdot{\color{green}3}-3}{({\color{green}3}-{\color{red}1})(x-{\color{green}3})({\color{green}3}-{\color{blue}6})}
+\frac{{\color{blue}6}^2-8\cdot{\color{blue}6}-3}{({\color{blue}6}-{\color{red}1})({\color{blue}6}-{\color{green}3})(x-{\color{blue}6})}\\
 =-\frac{1}{x-{\color{red}1}}+\frac{3}{x-{\color{green}3}}-\frac{1}{x-{\color{blue}6}}
\end{multline*} Если в знаменателе есть степени, нужно, естественно, итерировать. Кстати, рецепт обобщается и на случай нескольких переменных. Научите ребенка — и он сможет при случае щегольнуть быстрым счетом в школе.

Про идеалы

Идеалов в реальном мире не бывает, но в математике они существуют еще как. Идеалы в  математике бывают разные, но здесь я расскажу про идеалы коммутативных колец.
Вообще, кольцо --- это множество, замкнутое относительно двух операций со свойствами сложения и умножения. Эти операции поэтому часто так и называют: сложение и умножение. Правда, коммутативность умножения не требуется, но нас интересует как раз кольцо с коммутативным умножением --- коммутативное кольцо. Ну еще хотят чтобы был нуль, и был противоположный элемент. Существование противоположного элемента позволяет определить в этом множестве и операцию вычитания по формуле $a-b\equiv a+(-b)$, где $-b$ --- элемент, противоположный $b$. Заметим, что существование единичного элемента и обратного элемента для ненулевого $a$ не требуется, и в этом принципиальное отличие кольца от поля.
Говоря неформально, в кольце деление даже на ненулевой элемент может быть невыполнимо. И, естественно, встает вопрос, а когда же деление все-таки выполнимо? Возьмем элемент кольца $a$ и спросим, какие элементы $b$ на него делятся, для каких $b$ разрешимо уравнение \begin{equation}b=ca.\label{eq1}\end{equation} Множество допустимых значений $b$ является примером идеала.

Возьмем самый простой пример коммутативного кольца — множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с обычным сложением и умножением. Тогда, например, множество чисел, кратных числу $a$ является идеалом.

Можно расширить определение идеала так: пусть заданы несколько элементов кольца $a_1,\ldots,a_n$. Тогда идеал определим как множество значений $b$ (из кольца, конечно), для которых уравнение\begin{equation}b=c_1a_1+\ldots+c_na_n\label{eq2}\end{equation} разрешимо относительно $c_1,\ldots,c_n$ (в кольце, конечно). Про такие идеалы говорят, что они порождаются элементами $a_1,\ldots,a_n$. Для кольца целых чисел наше обобщение \eqref{eq2} не добавляет ничего нового. Чтобы это понять, заметим, что, во-первых, достаточно рассматривать идеалы, порожденные натуральными числами. Во-вторых, идеал, порожденный натуральными числами $a_1,\ldots,a_n$, совпадает с идеалом, порожденным  $\mathrm{GCD}(a_1,\ldots,a_n)$. Таким образом, в кольце целых чисел не только каждому натуральному числу соответствует идеал, но и наоборот, что открывает возможность переформулировать утверждения о натуральных числах в утверждения об идеалах. Вот, например, идеал, соответствующий простому числу (по понятным причинам называется простым идеалом), --- это собственный идеал (собственный $\equiv$ не совпадающий со всем кольцом), обладающий следующим свойством: для любого его элемента, имеющего вид произведения, по-крайней мере один из сомножителей также принадлежит идеалу. Теперь, когда у нас есть такое определение, мы можем его использовать для идеалов любых коммутативных колец, и, естественно, надеяться, что у этой и подобных конструкций есть простой смысл и большая польза.

Вот, например, рассмотрим полиномиальное кольцо ---  множество полиномов от $n$ переменных $x_1,\ldots,x_n$ с комплексными, скажем, коэффициентами. Полиномы, как и целые числа, можно складывать и умножать.  Обозначать это множество будем так: $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$. В этом кольце наше обобщение \eqref{eq2} уже не сводится к \eqref{eq1}. Для кольца целых чисел каждый идеал у нас соответствовал натуральному числу, а для кольца полиномов идеалу можно придать гораздо более интересный смысл. А именно, идеалу, порожденному полиномами $p_1,\ldots,p_n$, сопоставим алгебраическое многообразие в $R^n$, заданное полиномиальными уравнениями \begin{align}p_1=0\nonumber\\\vdots\label{eq3}\\p_n=0\nonumber\end{align}Только вот это соответствие неоднозначное. В частности, если мы любой полином в системе \eqref{eq3} заменим на его степень, многообразие, очевидно не поменяется, а идеал, вообще говоря, поменяется. Чтобы соответствие было однозначным, нам нужно рассматривать не все идеалы, а то, что называется радикал-идеалы. Радикал-идеал $\mathcal{I}$ --- это идеал, для которого из условия $a^n\in \mathcal{I}$ следует $a\in \mathcal{I}$. Так вот соответствие между радикал-идеалами и алгебраическими многообразиями однозначно. Это означает, что, исследуя радикал-идеалы, можно исследовать алгебраические многообразия. Кстати, радикал-идеалы в кольце $\mathbb{Z}$ соответствуют натуральным числам, в разложении которых на простые нет степеней. Поэтому радикал-идеалы называются еще полупростыми. Очевидно, что простые идеалы являются также полупростыми, а обратное не всегда верно.

Пример приводимого многообразия,
заданного уравнением
$(x^2+y^2-4)(x^2-y)=0$

Чтобы понять, чему соответствуют простые идеалы, нам нужно ввести понятие неприводимых алгебраических многообразий. Неприводимые алгебраические многообразия ---  алгебраические многообразия, которые нельзя представить в виде объединения нескольких алгебраических многообразий. Так вот, неприводимые алгебраические многообразия играют роль простых чисел --- им соответствуют простые идеалы.

Красота идеальной математики на этом не кончается, но вот пост пора закруглять. Могу только порекомендовать для самообразования книжку Кокс, Литтл, О'Ши Идеалы, многообразия и алгоритмы. 

P.S. Все, можно статьи писать прямо в блоггере. Последний MathJax поддерживает нумерацию уравнений + ссылки через \ref и \eqref. Чтобы узнать как это включить, смотреть в коде поста скрипт с  src="...MathJax.js"

Булевы алгебры, проекторы и квантовые игры

Размышляя о проекторах, вот, что я придумал! Рассмотрим следующие функции\[n(x)=1-x,\]\[a(x,y)=xy,\]\[o(x,y)=x+y-xy\]На множестве {0,1} эти функции дают обычные логические not,and и or, то есть задают простейшую булеву алгебру.
То же самое можно сказать более вычурно: Функции $n,a,o$ задают булеву алгебру  на множестве корней уравнения $x^2-x=0$.
Кажется, что это утверждение не несет ничего нового, ведь уравнение как раз и имеет два корня --- $0$ и $1$. Однако тут мы вспоминаем, что это уравнение является также определяющим уравнением для проекторов. Легко проверить, что если мы возьмем множество коммутирующих проекторов, замкнутое относительно операций $n$ и $a$, то приведенные выше функции определяют булеву алгебру. Далее операции $n,a,o$ будем обозначать как в логике:$\lnot,\land,\lor$.
Кто-то скажет "что толку в такой булевой алгебре". Попробую объяснить. Вспомним, что в квантовой механике коммутирующие эрмитовы операторы соответствуют одновременно измеримым величинам. Более того, если, скажем, есть у нас проектор $P_0=|\psi_0\rangle\langle\psi_0|$ на какое-нибудь состояние, то вероятность обнаружения этого состояния в состоянии $\psi$ равна среднему от проектора \[\langle\psi|P_0|\psi\rangle\] Ага, теперь все становится понятно. Пусть у нас есть запутанное состояние двух спинов. Например, такое\[|\psi\rangle=\frac1{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle-|\downarrow\rangle|\uparrow\rangle).\]  И мы, скажем, хотим определить вероятность измерения, которое покажет, что первый спин торчит вдоль оси $z$ или второй спин торчит вдоль оси $x$ (или то и другое). Очень просто,эта вероятность равна:\[\langle\psi|P_1^z\lor P_2^x|\psi\rangle=\frac34,\] где $P_1^z=\frac12(1+\sigma_1^z)$, $P_2^x=\frac12(1+\sigma_2^x)$. То есть наше определение измерения напрямую транслировалось в ответ, даже задумываться не пришлось. Это, конечно, простейший пример, но идея понятна. Например, операторы, соответствующие особо запутанным измерениям можно, перед тем как усреднять, упрощать по правилам логики.

Заметим, между прочим, что определенные функции $n,a,o$ имеют простую классическую вероятностную интерпретацию: если $x$ и $y$ --- вероятности независимых событий, то $n,a,o$, соответственно, вероятности того, что первое не произойдет, что произойдут оба и что произойдет хотя бы одно. Результаты измерения спинов в запутанном состоянии, вообще говоря, не являются независимыми, но для проекторов действуют все те же простые правила.

Дальше воображение рисует кучу приложений, например, в теории квантовых игр или в квантовых компьютерах.

Может кто это уже придумал все, а? Уж больно красиво.

Клин

На прошлой неделе один обед протупил над следующим "парадоксом".

Рассмотрим матрицу \[
\Lambda_{\mathbf{p}}=\frac12\left(1+\frac{\varepsilon+\beta m}{p^2}\boldsymbol{\alpha}\mathbf{p}\right).
\] В голове не укладывались 4 утверждения, касающиеся этой матрицы:

1. $\Lambda_{\mathbf{p}}$ --- проектор, т.е. $\Lambda_{\mathbf{p}}^2=\Lambda_{\mathbf{p}}$. 
2.  $\Lambda_{\mathbf{p}}u_{\mathbf{p}}=u_{\mathbf{p}}$,  т.е., это проектор на пространство решений уравнения $[\varepsilon-\boldsymbol{\alpha}\mathbf{p}-\beta m]u_{\mathbf{p}}=0$.
3. $\Lambda_{\mathbf{p}}+\Lambda_{-\mathbf{p}}=1$, откуда следует, что $\Lambda_{\mathbf{p}}\Lambda_{-\mathbf{p}}=0$.
4. $u^{\dagger}_{\mathbf{p}}u_{\mathbf{-p}}\neq0$.

Только написав на доске понял в чем дело.

Docked Cells в Mathematica

Все, кто программировал в Математике, знают, что одна из самых полезных операций называется Quit Kernel. Удивительно, что для нее нет ни клавиатурного сокращения, ни кнопки. Нужно лезть в меню Evaluation>Quit Kernel>Local, а затем еще жать Ok в появившемся окошке с предупреждением. Есть немного более простой способ, конечно --- ввести Quit и нажать Shift-Enter. Но если ядро занято другими вычислениями, этот способ не работает. Есть и третий способ: создать кнопку командой  Button["Quit", Quit[]] и жать на нее в свое удовольствие. Проблема в том, что кнопочка эта постепенно уплывает из зоны видимости. Можно, конечно, сгенерировать палитру (palette) и для кого-то это будет самый удобный вариант. Понятно, что для настоящего художника в палитре должна быть не только черная краска, так что в палитру можно оформить несколько ваших любимых кнопок.
Однако, в том, что палитра хранится отдельно от файла есть как достоинства, так и недостатки. Достоинства, понятно, в том, что одну палитру можно использовать при работе в любом файле. Недостаток --- в том, что взяв с собой файл на другой компьютер, нужно не забыть взять и установить туда и палитру. Выходом из этого концептуального тупика может стать Docked Cell. По сути, это та же палитра, только определенного вида. Важно, что хранится она  прямо в файле. Вот пример создания Docked Cell-а с тремя кнопками:
SetOptions[InputNotebook[], DockedCells -> {Cell[BoxData[ToBoxes[
      Row[{Button["Quit", Quit[]],
        Button["Abort", FrontEndTokenExecute["FindEvaluatingCell"];
         FrontEndTokenExecute["EvaluatorAbort"]],
        Button["Evaluate", FrontEndTokenExecute["EvaluateCells"];
         SelectionMove[InputNotebook[], Next, Cell]]}]
      ]],
    Background -> RGBColor[0.9, 0.9, 0.9],
    CellMargins -> 0,
    CellFrame -> {{0, 0}, {1, 0}}]}]
Жмем Shift-Enter и вуаля. Кому-то может показаться, что вбивать такую команду в каждом новом файле утомительно. Согласен, но тут можно и палитру сделать:
CreatePalette[Button["Install tools",SetOptions[InputNotebook[], DockedCells -> {Cell[BoxData[ToBoxes[
      Row[{Button["Quit", Quit[]],
        Button["Abort", FrontEndTokenExecute["FindEvaluatingCell"];
         FrontEndTokenExecute["EvaluatorAbort"]],
        Button["Evaluate", FrontEndTokenExecute["EvaluateCells"];
         SelectionMove[InputNotebook[], Next, Cell]]}]
      ]],
    Background -> RGBColor[0.9, 0.9, 0.9],
    CellMargins -> 0,
    CellFrame -> {{0, 0}, {1, 0}}]}]]]
А еще лучше --- сделать такую палитру
CreatePalette[{Row[{Button["Quit", Quit[]],
    Button["Abort", FrontEndTokenExecute["FindEvaluatingCell"];
     FrontEndTokenExecute["EvaluatorAbort"]],
    Button["Evaluate", FrontEndTokenExecute["EvaluateCells"];
     SelectionMove[InputNotebook[], Next, Cell]]}],
  Button["embed tools",
   SetOptions[InputNotebook[],
    DockedCells -> Most@First@NotebookGet[ButtonNotebook[]]],
   ContentPadding -> False, FrameMargins -> 0]}]

Еще идефикс

Все, конечно, знают, что риманова поверхность функции \[\sqrt{P_{2g+2}(z)},\] где $P_{2g+2}(z)$ --- полином $2g+2$ порядка, в общем случае гомеоморфна сфере с $g$ ручками. В частности, риманова поверхность функции $f(z)=\sqrt{z^4-1}$ должна быть гомеоморфна тору. Я вот тоже это недавно узнал. Ну, я когда-то знал это раньше, но забыл, да, да. Полезно потренировать воображение и сообразить, как непрерывной деформацией превратить тор в дважды накрытую сферу Римана с четырьмя точками ветвления. Я такими вещами обычно занимаюсь, когда не могу заснуть.
Проблема в том, что когда картинка понятна, очень хочется ее нарисовать, и сопротивляться этому желанию у меня пока не получается. Иначе картинка будет висеть в бэкграунде и тормозить весь мыслительный процесс. Вот только в данном случае нужно не нарисовать, а анимировать. К счастью, Wolfram Mathematica заботится о нас, толкает свой CDF формат (как альтернативу PDF-у, что-ли?). Ладно, попробуем. Ниже результат.
Когда ползунок в самой правой позиции, имеем дважды накрытую сферу Римана, на которой однозначно определена наша функция $f(z)$. Четыре конца красных линий соответствуют корням нашего полинома $\pm1,\pm i$. Сами линии обозначают один из возможных способов выбрать разрезы.

---

---

P.S. Главное страдание --- выдумать подходящую функцию, интерполирующую между двумя крайними положениями. Первоначальная простая, как три копейки, мысль --- интерполировать как $(1-t)*тор+t*сфера2$ --- дает убогий результат.

Теория бега трусцой

Пост месячной давности.

Всегда относился к бегу трусцой как к, если и полезному, но уж точно скучному занятию.
Но сидя второй месяц без семьи за границей нашел в нем некоторое развлечение, позволяющее до определенной степени избавится от ощущения потерянного времени. Пока еще свежи воспоминания, изложу некоторые свои наблюдения.

1. Бегать надо одному. Нормальный треп с компаньоном все равно невозможен, а при совместном беге приходится подстраиваться друг под друга. Если партнер более подготовлен, можно заработать комплекс неполноценности. См. также следующий пункт.
2. Музыка -- разрешённый допинг. Если бежишь один и есть возможность не опасаться велосипедов и машин, затычки в ушах с правильно подобранной "музыкой" могут существенно улучшить результаты. Для музыки два критерия. Во-первых нужно, чтобы у нее был четкий ритм и темп, с которым можно синхронизовать дыхание и шаг. Во-вторых, зацепки для мозга в виде нетривиальной лирики мешают бежать. Поэтому разумный выбор --- какая-нибудь амбиент хрень. В идеале на первом же километре впадаешь в транс,из которого выходишь уже дома, стоя под душем.
3. Если бежишь с ГПС, которое тебе показывает путь, скорость, время, маршрут и т.д., нужно засунуть его сразу куда-нибудь подальше и смотреть на него не чаще одного раза на два километра. Если вы любите похвастаться и еще не потеряли иллюзорное ощущение собственной крутости в любом занятии, за которое беретесь, можно скачать программу с сайта Endomondo.com чтобы потом выкладывать свои достижения.
4. Ощущения человека, как известно, логарифмические. Это может вызвать волну отчаяния на половине пути: когда эта половина преодолена, кажется, что осталось практически столько же, сколько было вначале (с точностью до ничтожного $\ln 2\approx 0.7$), а силы уже на исходе. Бесполезно себя убеждать, что это неправильная оценка. Каждый физик усвоил еще в университете, что если число километров $x$, которое ты собрался пробежать, --- большое, то $x/2$ по порядку величины равно $x$. Тем не менее, если немного потерпеть и понаблюдать за логарифмом оставшегося расстояния, можно с радостью заметить, что он меняется все быстрее, и справиться с подступившим отчаянием.
5. В какой-то момент может появиться мысль: "а на хрена мне это надо?", после которой вспоминается, что "я же просто для здоровья бегаю", и, наконец, появляется соблазн закончить дистанцию досрочно. Поэтому первую половину пути удобно бежать по прямой по направлению от дома. Тогда в конце дистанции на вопрос "а на хрена мне это надо?" появляется естественный ответ: чтобы побыстрее добраться домой. Кроме того, раздражение собственной тупостью, из-за которой ты оказался так далеко от дома, дает дополнительные силы.

P.S. В лифте гестхауза, мокрый и красный после бега, столкнулся с сумасшедшей китайской теткой, которая меня спросила что-то типа "А ю джо...нямням", что я расшифровал, естественно, как "Are you jogging?". Но оказалось, что она спрашивала "Are you German?". Когда я сказал, что нет, она обрадованно спросила откуда я. Я сказал: "фром Раша", и она вышла на первом этаже из лифта, озадаченно повторяя "фром Раша, фром Раша..." и как бы пытаясь справится с потрясением. Я поехал на свой третий. Когда я зашел в номер, зазвонил телефон и мне без всякого предисловия радостным голосом задали третий вопрос, очевидно, призванный все поставить на свои места: "Are you chinese?". Голос был радостный и громкий и я его слышал не только из трубки, но и еще из открытой балконной двери, прямо с первого этажа. Ситуация, если вдуматься, была уже странноватая, но у меня еще с детства осталась дурацкая привычка честно отвечать на прямо поставленные вопросы и я сказал, что "No, I am korean". На том конце трубки резонно возразили "You must be Chinese because your last name is Lee". Немного засомневавшись от такого напора, я все-же стал терпеливо объяснять, что нет, все-таки я кореец, поскольку папа у меня кореец. Трубку обиженно бросили, даже не попрощавшись. Интересно, что было бы, если бы я все же оказался китайцем?