среда, 25 января 2012 г.

Скрипт для задач на построение


Тестовая версия скрипта для задач на построение с помощью циркуля и линейки. Инструменты:
point
ставит свободные точки и пересечения кривых. Чтобы поставить точку на кривой нужно два раза по ней кликнуть. Чтобы поставить точки пересечения двух кривых нужно кликнуть на одну (она выделится), а затем на вторую.
line
функционал линейки. Чтобы провести линию через две точки, нужно на них кликнуть по очереди.
circle
функционал циркуля. Чтобы провести окружность с центром в заданной точке заданного радиуса, нужно кликнуть сначала на точку центра, а затем на пару точек, определяющих радиус.
delete
стирательная резинка.

Ready.

пятница, 20 января 2012 г.

Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова

Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова является, как известно, множителем в сечении или вероятности, учитывающим кулоновское взаимодействие конечных (или начальных) частиц при малых скоростях. Важность этого множителя обусловлена тем, что даже при малом взаимодействии он может существенно отличаться от единицы. Дело в том, что теория возмущений строится формально как степенной ряд по параметру, характеризующему силу взаимодействия. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) этот параметр равен (Далее работаем в системе ). Наивно можно полагать, что поправки на взаимодействие подавлены по этому параметру (в КЭД --- на два порядка). Однако есть определенный класс поправок, которые оказываются пропорциональны не просто , а , где --- относительная скорость частиц. Если частицы релятивистские, т.е. , такие поправки малы, как и поправки, не содержащие скорость в знаменателе, но когда такие члены могут стопроцентно изменить величину амплитуды.
К счастью, поправки такого вида можно вычислить с помощью обычной нерелятивистской квантовой механики. Пусть для определенности пара медленных частиц появляется в конечном состоянии. Тогда амплитуда вероятности такого процесса антилинейна по волновой функции пары. Обозначая за координатную часть волновой функции этой пары, зависящую от относительного положения частиц, мы можем записать
где --- функция, зависящая от процесса. В пренебрежении взаимодействием , имеет вид
Кулоновское взаимодействие , конечно, меняет волновую функцию на (см. ЛЛ III,136.9):
Таким образом, фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова равен
Польза от этой формулы появляется в том случае, когда у нас есть возможность посчитать этот фактор не из процесс-зависящего определения, а универсально. Это можно сделать, когда характерный размер спадания ядра мал по сравнению с характерным размером изменения волновой функции. Типичный пример --- рождение пары на пороге. Тогда ядро имеет размер порядка комптоновской длины волны рождающихся частиц , что действительно мало по сравнению с (мы рассматриваем нерелятивизм). Тогда мы выносим плавно меняющуюся из-под интеграла и получаем
На первый взгляд кажется, что это универсальное выражение справедливо всегда независимо от специфики функции , при условии, конечно, что ее размер мал по сравнению с . Но на самом деле тут есть одна засада: все это годится, если не равен нулю. Это не так, если в амплитуду дают вклад только ненулевые орбитальные моменты. В этом случае интеграл от зануляется за счет интегрирования по углам и мы получаем неопределенность типа 0/0. В этом случае нам нужно начать раскладывать и оставить первый неисчезающий после интегрирования член разложения. Можно вместо этого сразу использовать парциальные разложения
Тогда фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова для углового момента выражается как предел отношения радиальных волновых функций
Радиальные волновые функции имеют не очень простой вид но нам нужны только разложения при маленьких :
Получаем окончательно
Заметим, что при очень маленьких фактор ведет себя как . Если вспомнить множитель в радиальной функции и множитель из фазового объема родившихся частиц, то можно сделать вывод о конечности порогового сечения для любого в случае притяжения.
P.S. И кстати, теперь я совершенно не понимаю, зачем нужно этот множитель обобщать на релятивистский случай.