Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова является, как известно, множителем в сечении или вероятности, учитывающим кулоновское взаимодействие конечных (или начальных) частиц при малых скоростях. Важность этого множителя обусловлена тем, что даже при малом взаимодействии он может существенно отличаться от единицы. Дело в том, что теория возмущений строится формально как степенной ряд по параметру, характеризующему силу взаимодействия. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) этот параметр равен
(Далее работаем в системе
). Наивно можно полагать, что поправки на взаимодействие подавлены по этому параметру (в КЭД --- на два порядка). Однако есть определенный класс поправок, которые оказываются пропорциональны не просто
, а
, где
--- относительная скорость частиц. Если частицы релятивистские, т.е.
, такие поправки малы, как и поправки, не содержащие скорость в знаменателе, но когда
такие члены могут стопроцентно изменить величину амплитуды.
К счастью, поправки такого вида можно вычислить с помощью обычной нерелятивистской квантовой механики. Пусть для определенности пара медленных частиц появляется в конечном состоянии. Тогда амплитуда
вероятности такого процесса антилинейна по волновой функции пары. Обозначая за
координатную часть волновой функции этой пары, зависящую от относительного положения частиц, мы можем записать
где
--- функция, зависящая от процесса. В пренебрежении взаимодействием
, имеет вид
Кулоновское взаимодействие
, конечно, меняет волновую функцию на (см. ЛЛ III,136.9):
Таким образом, фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова равен
Польза от этой формулы появляется в том случае, когда у нас есть возможность посчитать этот фактор не из процесс-зависящего определения, а универсально.
Это можно сделать, когда характерный размер спадания ядра
мал по сравнению с характерным размером изменения волновой функции. Типичный пример --- рождение пары на пороге. Тогда ядро
имеет размер порядка комптоновской длины волны рождающихся частиц
, что действительно мало по сравнению с
(мы рассматриваем нерелятивизм). Тогда мы выносим плавно меняющуюся
из-под интеграла и получаем
На первый взгляд
кажется, что это универсальное выражение справедливо всегда независимо от специфики функции
, при условии, конечно, что ее размер мал по сравнению с
. Но на самом деле тут есть одна засада: все это годится, если
не равен нулю. Это не так, если в амплитуду дают вклад только ненулевые орбитальные моменты. В этом случае интеграл от
зануляется за счет интегрирования по углам и мы получаем неопределенность типа 0/0. В этом случае нам нужно начать раскладывать
и оставить первый неисчезающий после интегрирования член разложения. Можно вместо этого сразу использовать парциальные разложения
Тогда фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова для углового момента
выражается как предел отношения радиальных волновых функций
Радиальные волновые функции имеют
не очень простой вид (ЛЛ III, 36.27) но нам нужны только разложения при маленьких
:
Получаем окончательно
Заметим, что при очень маленьких
фактор
ведет себя как
. Если вспомнить множитель
в радиальной функции и множитель
из фазового объема родившихся частиц, то можно сделать вывод о конечности порогового сечения
для любого в случае притяжения.
P.S. И кстати, теперь я совершенно не понимаю, зачем нужно этот множитель обобщать на релятивистский случай.