Теорема Левинсона

Сегодня, прибираясь в своей коллекции статей, обнаружил одну работу, которую я, очевидно, скачал, чтобы потом разобраться, и забыл. Про теорему Левинсона. Я, вообще, питаю слабость к строгим утверждениям в области физики, поэтому решил все-таки разобраться. Саму статью Левинсона [1] я добыть не смог, поскольку напечатана она в журнале с длинным малопонятным названием Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd., но нашел зато совсем простую работу Веллнера [2] которую тут же и прочитал.
Так вот, теорема Левинсона --- это красивое утверждение о связи фазы рассеяния и количества связанных состояний в потенциале (в уравнении Шредингера). Фаза рассеяния, как известно, измеряется в экспериментах по рассеянию, поэтому извлечение из этой фазы информации о потенциале, безусловно, имеет важное значение. Если в обратной задаче рассеяния речь идет о том, чтобы полностью восстановить по данным рассеяния потенциал, то теорема Левинсона решает гораздо более скромную задачу, но не перестает от этого быть изящным и полезным фактом.
Итак, рассмотрим радиальное уравнение (р.у.) Шредингера
$$-\chi_l^{\prime\prime} +\tilde{V}_l\chi_l=k^2\chi_l ,$$ где $\tilde{V}_l=V+l(l+1)/r^2$ --- эффективный потенциал с учетом центробежной части.
Фаза рассеяния $\delta_l(k)$ определяется асимптотикой волновой функции: $$\chi_l(k,r)\to 2\sin(kr-\pi l/2+\delta_l(k))$$ Далее, для простоты изложения, кладем $l=0$. Решение при нулевом потенциале будем обозначать нижним индексом $F$: $$\chi_F(k,r)=2\sin(kr)$$ Умножим производную р.у. по $k$ на $\chi$ и вычтем р.у., умноженное на производную $\chi$ по тому же $k$: $$(\dot\chi\chi^{\prime}-\chi\dot\chi^{\prime})^\prime=2k\chi^2,$$ Точками здесь обозначены производные по $k$. Интегрируем по $r$ от нуля до достаточно большого $R$, такого, чтобы при $r=R$ уже можно было пользоваться асимптотикой. Получаем $$\dot\delta=\frac12\int_0^R dr\chi^2-R+\frac{\sin(2kR+2\delta)}{2k},$$ Далее мы представляем $$\begin{gather} \frac{\sin(2kR+2\delta)}{2k} =-\lim_{\epsilon\to 0}\int_R^\infty dr \,e^{-\epsilon r}\cos(2kR+2\delta)\\ =\lim_{\epsilon\to 0}\int_R^\infty dr\, e^{-\epsilon r} [2\sin^2(kR+\delta)-1] =\lim_{\epsilon\to 0}\int_R^\infty dr \,e^{-\epsilon r} \left[\frac12\chi^2-1\right] \end{gather}$$ и получаем симпатичную формулу $$\dot\delta=\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty dr\,e^{-\epsilon r}\left[\frac12\chi^2-1\right] =\frac12\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty dr\,e^{-\epsilon r}\left[\chi^2-\chi_F^2\right].$$ Второй переход справедлив, вообще говоря, для $k\neq 0$, но это мелочь. Если мы проинтегрируем это равенство по $k$, то получим $$\delta(\infty )-\delta(0)= \frac12\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty dr\,e^{-\epsilon r}\int_0^\infty dk\left[\chi^2-\chi_F^2\right].$$ Ну вот, теперь еще вспоминаем соотношение полноты для радиальных функций $$\sum_{n=1}^{N} \chi_n(r)\chi_n(r^\prime)+\int_0^\infty\frac{dk}{2\pi}\chi(k,r)\chi(k,r^\prime)=\delta(r-r^\prime),$$ где $N$ --- число связанных состояний. Это соотношение справедливо и для нулевого потенциала, когда $N=0$: $$\int_0^\infty\frac{dk}{2\pi}\chi_F(k,r)\chi_F(k,r^\prime)=\delta(r-r^\prime),$$ Разность двух последних соотношений и последующая замена $r^\prime \to r$ дает $$\int_0^\infty dk\left[\chi^2-\chi_F^2\right]=-2\pi\sum_{n=1}^{N} \chi_n^2$$

Окончательно, получаем теорему Левинсона: $$\delta(\infty )-\delta(0)= -\pi\int_0^\infty dr\sum_{n=1}^{N} \chi_n^2 =-\pi N,.$$ Изменение фазы рассеяния при изменении $k$ от нуля до бесконечности равно числу связанных состояний, умноженному на $-\pi$.

Выполнение теоремы Левинсона для потенциала $U(r)=-\frac{U_0}{\cosh^2 r}$. Зеленая кривая --- фаза рассеяния для $l=0$ как функция от энергии (правая шкала --- $E/U_0$). Уровни энергии в потенциале показаны пунктиром. Потенциал (показан синей кривой) постепенно углубляется и когда в нем появляется новый уровень, фаза рассеяния скачет на $\pi$.

Честно говоря, у меня такое жонглирование пределами всегда вызывает настороженность, но в данном случае результат достаточно красив, чтобы быть правильным, так что оставим строгий вывод математикам.
Да, забыл сказать, что неоднозначность определения фазы (к которой можно прибавить $\pi m$) не мешает этому соотношению. Нужно просто считать, что фаза определена как непрерывная функция $k$.
[1] N. Levinson, Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd., 25(9) (1949)
[2] M. Wellner, Amer. J. Phys. 32 (1964) 787.