Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова является, как известно, множителем в сечении или вероятности, учитывающим кулоновское взаимодействие конечных (или начальных) частиц при малых скоростях. Важность этого множителя обусловлена тем, что даже при малом взаимодействии он может существенно отличаться от единицы. Дело в том, что теория возмущений строится формально как степенной ряд по параметру, характеризующему силу взаимодействия. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) этот параметр равен $\alpha=e^2/\hbar c\approx 1/137.036$ (Далее работаем в системе $\hbar=c=1$). Наивно можно полагать, что поправки на взаимодействие подавлены по этому параметру (в КЭД --- на два порядка). Однако есть определенный класс поправок, которые оказываются пропорциональны не просто $\alpha^n$, а $(\alpha/v)^n$, где $v$ --- относительная скорость частиц. Если частицы релятивистские, т.е. $v\sim 1$, такие поправки малы, как и поправки, не содержащие скорость в знаменателе, но когда $v\ll 1$ такие члены могут стопроцентно изменить величину амплитуды.
К счастью, поправки такого вида можно вычислить с помощью обычной нерелятивистской квантовой механики. Пусть для определенности пара медленных частиц появляется в конечном состоянии. Тогда амплитуда $M$ вероятности такого процесса антилинейна по волновой функции пары. Обозначая за $\psi(\mathbf{r})$ координатную часть волновой функции этой пары, зависящую от относительного положения частиц, мы можем записать\[ M=\int d\mathbf{r}\psi^*(\mathbf r)K(\mathbf{r}), \] где $K(\mathbf r)$ --- функция, зависящая от процесса. В пренебрежении взаимодействием $\psi(\mathbf{r})$, имеет вид \[ \psi_0(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{p r}}. \] Кулоновское взаимодействие $-\alpha/r$, конечно, меняет волновую функцию на (см. ЛЛ III,136.9):\[ \psi_С(\mathbf r)=e^{{\pi\alpha\over 2v}}\Gamma\left(1+i{\alpha\over v}\right)e^{i\mathbf{pr}}F\left(-i{\alpha\over v},1, -i(pr+\mathbf{pr})\right). \] Таким образом, фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова равен\[ S_{\mathrm{SGS}}=\left|\frac{\int d\mathbf{r}\psi_C^*(\mathbf r)K(\mathbf{r})}{\int d\mathbf{r}\psi_0^*(\mathbf r)K(\mathbf{r})}\right|^2 \] Польза от этой формулы появляется в том случае, когда у нас есть возможность посчитать этот фактор не из процесс-зависящего определения, а универсально. Это можно сделать, когда характерный размер спадания ядра $K(\mathbf r)$ мал по сравнению с характерным размером изменения волновой функции. Типичный пример --- рождение пары на пороге. Тогда ядро $K$ имеет размер порядка комптоновской длины волны рождающихся частиц $\hbar/mc$, что действительно мало по сравнению с $\hbar/mv$ (мы рассматриваем нерелятивизм). Тогда мы выносим плавно меняющуюся $\psi$ из-под интеграла и получаем \[ S_{\mathrm{SGS}}=\left|\frac{\psi_С^*(0)}{\psi_0^*(0)}\right|^2={2\pi\alpha/v\over 1-\exp(-2\pi\alpha/v)} \] На первый взгляд кажется, что это универсальное выражение справедливо всегда независимо от специфики функции $K(\mathbf{r})$, при условии, конечно, что ее размер мал по сравнению с $\hbar/mv$. Но на самом деле тут есть одна засада: все это годится, если $\int d\mathbf r K(\mathbf r)$ не равен нулю. Это не так, если в амплитуду дают вклад только ненулевые орбитальные моменты. В этом случае интеграл от $K(\mathbf r)$ зануляется за счет интегрирования по углам и мы получаем неопределенность типа 0/0. В этом случае нам нужно начать раскладывать $\psi(\mathbf r)$ и оставить первый неисчезающий после интегрирования член разложения. Можно вместо этого сразу использовать парциальные разложения\[ \psi_0(\mathbf{r})=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}_r\mathbf{n}_p)R_{pl}^0(r) \,,\quad \psi_C(\mathbf{r})=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}_r\mathbf{n}_p)R_{pl}^C(r) \]Тогда фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова для углового момента $l$ выражается как предел отношения радиальных волновых функций\[ S_{\mathrm{SGS}}(l)=\lim_{r\to 0} \left|R_{pl}^C(r)\over R_{pl}^0(r)\right|^2. \]Радиальные волновые функции имеют не очень простой вид (ЛЛ III, 36.27)\[ R_{pl}^0(r)=j_{l}(pr)\]\[ R_{pl}^C(r)=e^{{\pi\alpha\over 2v}}\Gamma\left(l+1+i{\alpha\over 2v}\right)\frac{(2pr)^l}{(2l+1)!}e^{ipr} F\left(l+1-i{\alpha\over v},2l+2, -2ipr\right), \] но нам нужны только разложения при маленьких $r$:\[ R_{pl}^{0}(r)\approx\frac{\left(pr\right)^{l}}{\left(2l+1\right)!!}=\frac{\left(2pr\right)^{l}l!}{\left(2l+1\right)!},\quad R_{pl}^C(r)=e^{-\frac{\pi\alpha}{2v}}\Gamma\left(l+1+i\frac{\alpha}{v}\right)\frac{(2pr)^{l}}{(2l+1)!} \]Получаем окончательно\[ S_{\mathrm{SGS}}(l)=e^{\frac{\pi\alpha}{v}}\left|\Gamma\left(l+1+i\frac{\alpha}{v}\right)\right|^2={2\pi\alpha/v\over 1-\exp(-2\pi\alpha/v)}\prod_{s=1}^{l}\left(1+{\alpha^2\over v^2s^2}\right) \]Заметим, что при очень маленьких $v$ фактор $S_{\mathrm{SGS}}(l)$ ведет себя как $v^{-2l-1}$. Если вспомнить множитель $(pr)^l$ в радиальной функции и множитель $p$ из фазового объема родившихся частиц, то можно сделать вывод о конечности порогового сечения для любого $l$ в случае притяжения.
P.S. И кстати, теперь я совершенно не понимаю, зачем нужно этот множитель обобщать на релятивистский случай.
К счастью, поправки такого вида можно вычислить с помощью обычной нерелятивистской квантовой механики. Пусть для определенности пара медленных частиц появляется в конечном состоянии. Тогда амплитуда $M$ вероятности такого процесса антилинейна по волновой функции пары. Обозначая за $\psi(\mathbf{r})$ координатную часть волновой функции этой пары, зависящую от относительного положения частиц, мы можем записать\[ M=\int d\mathbf{r}\psi^*(\mathbf r)K(\mathbf{r}), \] где $K(\mathbf r)$ --- функция, зависящая от процесса. В пренебрежении взаимодействием $\psi(\mathbf{r})$, имеет вид \[ \psi_0(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{p r}}. \] Кулоновское взаимодействие $-\alpha/r$, конечно, меняет волновую функцию на (см. ЛЛ III,136.9):\[ \psi_С(\mathbf r)=e^{{\pi\alpha\over 2v}}\Gamma\left(1+i{\alpha\over v}\right)e^{i\mathbf{pr}}F\left(-i{\alpha\over v},1, -i(pr+\mathbf{pr})\right). \] Таким образом, фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова равен\[ S_{\mathrm{SGS}}=\left|\frac{\int d\mathbf{r}\psi_C^*(\mathbf r)K(\mathbf{r})}{\int d\mathbf{r}\psi_0^*(\mathbf r)K(\mathbf{r})}\right|^2 \] Польза от этой формулы появляется в том случае, когда у нас есть возможность посчитать этот фактор не из процесс-зависящего определения, а универсально. Это можно сделать, когда характерный размер спадания ядра $K(\mathbf r)$ мал по сравнению с характерным размером изменения волновой функции. Типичный пример --- рождение пары на пороге. Тогда ядро $K$ имеет размер порядка комптоновской длины волны рождающихся частиц $\hbar/mc$, что действительно мало по сравнению с $\hbar/mv$ (мы рассматриваем нерелятивизм). Тогда мы выносим плавно меняющуюся $\psi$ из-под интеграла и получаем \[ S_{\mathrm{SGS}}=\left|\frac{\psi_С^*(0)}{\psi_0^*(0)}\right|^2={2\pi\alpha/v\over 1-\exp(-2\pi\alpha/v)} \] На первый взгляд кажется, что это универсальное выражение справедливо всегда независимо от специфики функции $K(\mathbf{r})$, при условии, конечно, что ее размер мал по сравнению с $\hbar/mv$. Но на самом деле тут есть одна засада: все это годится, если $\int d\mathbf r K(\mathbf r)$ не равен нулю. Это не так, если в амплитуду дают вклад только ненулевые орбитальные моменты. В этом случае интеграл от $K(\mathbf r)$ зануляется за счет интегрирования по углам и мы получаем неопределенность типа 0/0. В этом случае нам нужно начать раскладывать $\psi(\mathbf r)$ и оставить первый неисчезающий после интегрирования член разложения. Можно вместо этого сразу использовать парциальные разложения\[ \psi_0(\mathbf{r})=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}_r\mathbf{n}_p)R_{pl}^0(r) \,,\quad \psi_C(\mathbf{r})=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}_r\mathbf{n}_p)R_{pl}^C(r) \]Тогда фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова для углового момента $l$ выражается как предел отношения радиальных волновых функций\[ S_{\mathrm{SGS}}(l)=\lim_{r\to 0} \left|R_{pl}^C(r)\over R_{pl}^0(r)\right|^2. \]Радиальные волновые функции имеют не очень простой вид (ЛЛ III, 36.27)\[ R_{pl}^0(r)=j_{l}(pr)\]\[ R_{pl}^C(r)=e^{{\pi\alpha\over 2v}}\Gamma\left(l+1+i{\alpha\over 2v}\right)\frac{(2pr)^l}{(2l+1)!}e^{ipr} F\left(l+1-i{\alpha\over v},2l+2, -2ipr\right), \] но нам нужны только разложения при маленьких $r$:\[ R_{pl}^{0}(r)\approx\frac{\left(pr\right)^{l}}{\left(2l+1\right)!!}=\frac{\left(2pr\right)^{l}l!}{\left(2l+1\right)!},\quad R_{pl}^C(r)=e^{-\frac{\pi\alpha}{2v}}\Gamma\left(l+1+i\frac{\alpha}{v}\right)\frac{(2pr)^{l}}{(2l+1)!} \]Получаем окончательно\[ S_{\mathrm{SGS}}(l)=e^{\frac{\pi\alpha}{v}}\left|\Gamma\left(l+1+i\frac{\alpha}{v}\right)\right|^2={2\pi\alpha/v\over 1-\exp(-2\pi\alpha/v)}\prod_{s=1}^{l}\left(1+{\alpha^2\over v^2s^2}\right) \]Заметим, что при очень маленьких $v$ фактор $S_{\mathrm{SGS}}(l)$ ведет себя как $v^{-2l-1}$. Если вспомнить множитель $(pr)^l$ в радиальной функции и множитель $p$ из фазового объема родившихся частиц, то можно сделать вывод о конечности порогового сечения для любого $l$ в случае притяжения.
P.S. И кстати, теперь я совершенно не понимаю, зачем нужно этот множитель обобщать на релятивистский случай.
Комментариев нет:
Отправить комментарий