Квантовый параллелизм.

В начале прошлого года случилось поучаствовать в настоящей математической конференции по функциональным уравнениям. Я был приятно удивлен тем, что бо́льшая часть докладов оказалась вполне воспринимаема. Причина, конечно, не в том, что я такой умный — на физических конференциях очень часто из доклада я мало что могу понять — а в том, что математики больше стремятся сделать свой доклад понятным и меньше пускают пыль в глаза. Ну так мне показалось. И кроме меня был там еще один физик, который рассказывал про квантовый компьютер — а точнее, про запиленный им с соавторами эмулятор оного. На мой взгляд, доклад был совсем пустячный, но вот что интересно. В том месте где было гордо сказано, что после работы программы есть еще стадия считывания, на которой можно получить различные измеренные результаты с определенными вероятностями, я заметил среди слушателей искреннее недоумение. Подозреваю, что дело тут в неправильной подаче материала, призванной произвести эффект, а не сделать предмет понятным, но оставим это на совести докладчика.

 В черновиках моего блога есть материал, который я давно уже начал, но никак не могу закончить. Про алгоритм Шора для факторизации чисел на квантовом компьютере. Фактически, с этого алгоритма начался — а злые языки говорят, что и закончится — квантовый компьютер. Оригинальная статья написана хорошо и понятно, но мне хотелось объяснить этот алгоритм ещё более просто — так чтобы могли прочитать и понять студенты (хотя бы те, которые раз прослушали его в моём исполнении). Поскольку пост завяз, я решил откусить часть изложения и поместить в отдельный пост, это и делаю.

Когда говорят про алгоритм Шора, вспоминают принцип суперпозиции в квантовой механике, позволяющий якобы эффективно проводить вычисления параллельно сразу для всех возможных входных данных. Вот про этот параллелизм и пойдёт речь. Как я уже объяснял где-то в этом блоге, "память" квантового компьютера представляет из себя т.н. q-регистр, состоящий из нескольких q-бит. Каждый q-бит — двухуровневая система, состояние которой описывается спинором — вектором в пространстве $\mathbb{C}^2$, а еще лучше сказать — в $\mathbb{CP}^1$. q-бит может находиться не только в состояниях $\mathbf{1}={1 \choose 0} $ и $\mathbf{0}={0 \choose 1} $, но и в произвольной их суперпозиции с комплексными коэффициентами.

Важно, что когда q-биты сгруппированы в q-регистр, состояние последнего уже описывается вектором в тензорном произведении пространств, соответствующих отдельным q-битам. Если наш q-регистр состоит из $n$ q-битов, то его состояние есть суперпозиция $2^n$ базисных состояний, каждое из которых естественно нумеровать $n$-значным двоичным числом, то есть базисные векторы будем обозначать как\[|\underbrace{01011\ldots}_{n \text{ разрядов}}\rangle\] Система команд квантового компьютера обычно включает однобитные и двухбитные унитарные преобразования — гейты (в русской литературе вентили). Вычисление состоит из применения заданной последовательности гейтов (задание этой последовательности и является "программой"), и его удобно изображать диаграммой, в которой каждому q-биту соответствует горизонтальная линия, однобитовым гейтам — блобы на ней, а двухбитовым — блобы с коннекторами. Не буду загромождать эту заметку описанием стандартных гейтов и диаграммной техники, так как это нормально написано и в английской Википедии. Замечу мимоходом, что использование диаграмм для наглядного представления "частичных" преобразований в тензорных произведениях пространств является очень стандартным приёмом, который, к тому же, может найти и совершенно неожиданные применения (ну, для меня неожиданные, а кто-то с ними ест и спит).

Нам для рассуждений понадобится только преобразования — NOT, CNOT и CCNOT (т.н. Toffoli gate). Первое является однобитовым отрицанием, второе — двухбитным преобразованием, которое инвертирует или не инвертирует второй бит в зависимости от того установлен или нет первый. Третье преобразование является трёхбитным и сводится к инверсии третьего бита в случае, если оба первых установлены. Его можно реализовать как последовательность бвухбитных, но сейчас не о том речь. Достаточно определить эти преобразования для базисных состояний одного, двух или трёх q-битов, а для произвольных состояний, конечно, всё будет определено по линейности.

Напомню, что важным свойством квантовых вычислений является их обратимость. То есть, зная программу и результат всегда можно восстановить входные данные. Это свойство (очевидное из определения вычисления, как унитарного преобразования) очень сильно отличает квантовый компьютер от классического, поскольку одной из основных операций классического вычисления является присваивание, теряющее информацию о состоянии переменной (бита) до присваивания.

Другое отличие состоит в том, что считывание информации из q-регистра, или из отдельных его битов, абсолютно непохоже на классическое. Если в классическом регистре можно всегда безнаказанно считать любой бит, не изменив его состояние, то в q-регистре так, хотя бы в принципе, можно сделать для q-битов, находящихся строго в одном из базисных состояний $0$ или $1$ (тут педанты могут меня поправить, что достаточно знать, что кубит находится в одном из двух ортогональных состояний). В остальных случаях: а) результат считывания не определён (например, для одного бита можно получить с определенными вероятностями и $0$ и $1$) и б) после считывания состояние q-регистра меняется. Поэтому обычно считывание происходит только один раз — в конце вычисления. Отсюда, скажем, следует, что инструкция ветвления if (x==1) then do something не может быть буквально перенесена в квантовую программу, поскольку, по-крайней мере в классическом вычислении, предполагает считывание значения x. Но тем не менее, есть утверждение о том, что все логические операции можно реализовать с помощью одной — например, с помощью NAND(A,B)=NOT(AND(A,B)). Доказательство этого утверждения сводится к набору упражнений на построение остальных операций из NAND. Вот, например,отрицание NOT(A) строится как NAND(A,A). На всякий случай, напомню, что арифметические операции можно легко построить из логических. Конечно, вопрос про копирование в классических вычислениях не задаётся — считается, что это и не операция вовсе.

Значит, чтобы научиться выполнять классические программы на квантовом компьютере, мы должны понять как выглядят аналоги копирования и операции NAND. Оба эти вопроса решаются использованием дополнительных предустановленных битов (или предсброшенных). Вот скажем, если есть предусмотрительно запасённый бит C в состоянии $0$, мы в него можем скопировать другой бит A, просто выполнив преобразование CNOT(A,C). Также в этот бит можно поместить NAND(A,B). Просто нужно выполнить программу NOT(C);CCNOT(A,B,C). Первая инструкция инвертирует бит C,  а вторая выполняет Toffoli gate, "помещая" в C результат вычисления XOR(C,AND(A,B))=XOR(1,AND(A,B))=NAND(A,B).

Таким образом, если у нас есть некоторый классический алгоритм вычисления функции $f(x)$ для любого заданного двоичного $n$-значного числа $x$, мы можем написать P программу для квантового компьютера, которая вектор состояния $|x,0,\ldots\rangle$ переводит в $|x,f(x),g(x)\rangle$ где $g(x)$ обозначает испорченные в процессе вычисления вспомогательные q-биты. Отметим, что эта испорченность зависит от $x$.

Наконец мы готовы обсудить квантовый параллелизм. Итак, пусть у нас есть q-регистр, находящийсяв состоянии \[\frac1{2^{n/2}}\sum_x|x,0,\ldots\rangle\] Благодаря линейности квантовых преобразований, ранее упомянутая программа P переведёт этот вектор в \[\frac1{2^{n/2}}\sum_x|x,f(x),g(x)\rangle\,,\] где $f(x)$ — полезная функция, а $g(x)$ — мусор.

Так вот, одно из объяснений в статье Шора, которое я при поверхностном прочтении статьи и не понял, и ради которого, собственно, и писал эту заметку, касается того, как этот мусор убрать, не нарушая квантовую когерентность. Идея простая до безобразия (и оттого особенно красивая) состоит в том, чтобы после получения результата "скопировать" его в чистую область памяти, а затем произвести "undo" всей программы P. То есть, если программа P осуществляет унитарное преобразование $U$, то мы делаем такую последовательность действий: \begin{multline}\frac1{2^{n/2}}\sum_x|x,0,\ldots\rangle\stackrel{U}{\longrightarrow} \frac1{2^{n/2}}\sum_x|x,f(x),g(x),0,\ldots\rangle \\ \stackrel{\text{copy}}{\longrightarrow}\frac1{2^{n/2}}\sum_x|x,f(x),g(x),f(x)\rangle \stackrel{U^{-1}}{\longrightarrow}\frac1{2^{n/2}}\sum_x|x,0,\ldots,0,f(x)\rangle \end{multline} При беглом прочтении я никак не мог взять в толк, зачем нужно заботиться об обнулении вспомогательных битов.

Кажется, что мы наконец-то получили параллельное вычисление сразу для всех возможных входных данных, и если бы у нас был механизм определения вектора состояния, то это, конечно, так и было бы. Но тут в игру вступает квантовая механика, которая как-бы говорит "Хоть я и знаю всё, отвечу я только на один твой вопрос — задавай". То есть, попытка измерения разрушит когерентность и даст $f(x)$ только для одного значения $x$, причём, выбрать, для какого конкретно, не удастся. Так что, как использовать такой параллелизм — это ещё надо подумать. Но об этом напишу отдельно.

P.S. Кстати, про "один вопрос" вспомнился такой заумный анекдот:

На заседание философского общества спустился с неба ангел, и предложил философам ответить на любой их вопрос, но только на один. Философы начали спорить о том, какой вопрос задать. Ангел сказал: "ну вы тут решайте, я завтра вернусь и спросите". Некоторые философы предлагали связать несколько вопросов конъюнкцией, но другие возражали, что ангел не согласится считать это одним вопросом. Один философ предложил спросить ангела: "Какой вопрос самый лучший?", и потом, зная вопрос, подождать, пока не прилетит другой ангел в будущем. Но другие философы возражали, что не факт, что визит когда-либо повторится, и жалко тогда терять этот шанс. Наконец, философы договорились, и когда ангел вернулся на следующий день, задали ему следующий вопрос: "Какова упорядоченная пара, первый элемент который является лучшим вопросом, который можно задать ангелу, а второй элемент - ответом на этот вопрос?" Ангел тут же ответил: "Это упорядоченная пара, первым элементом которой является вопрос, который вы только что задали, а вторым - ответ, который я вам даю". И исчез.

Состояния фон Неймана-Вигнера

Квантовую механику я учил как раз четверть века назад. С тех пор и аж до 2011 года пребывал в наивной уверенности в том, что состояния непрерывного спектра обязательно ненормируемы. Но когда занимался задачей про квазилокализованные состояния, про которую я когда-то писал, обнаружил, что это не так. Еще на заре квантовой механики Вигнер и фон Нейман придумали пример нормируемых состояний непрерывного спектра.

Рассмотрим, например, такой потенциал\begin{equation*} V(x)=\left\{\begin{array}{rl}-\frac{\sin x (8 x \cos x-5 \sin x+\sin 3 x)}{x^2}& x>0&\\ \infty & x\leq 0\end{array}\right.\end{equation*}

Потенциал (заштрихован), энергия и волновая функция.

Потенциал на бесконечности стремится к нулю, поэтому при $E>0$ естественно ожидать непрерывный спектр. Подстановкой можно проверить, что у уравнения Шредингера\begin{equation*}
k^2\psi=-\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi
\end{equation*} при $k=1$ есть точное решение \begin{equation*}
\psi=\frac{e^{\text{Ci}(2 x)} \sin (x)}{x},
\end{equation*}где $\text{Ci}(x)$ --- интегральный косинус. Соответствующая этому решению плотность при больших $x$ убывает как $1/x^2$, поэтому интеграл от нее сходится, и мы получаем нормируемое решение. Физическая причина нерасплывания волновой функции состоит в том, что горбы потенциала эффективно отражают частицу так, что вероятность ее убегания на бесконечность равна нулю. Из картинки видно, что максимумы вероятности находятся слева от каждого горба.

В моём примере энергия нормируемого состояния меньше, чем высота первого горба, но если я правильно помню, то можно подобрать и потенциал, в котором нормируемое состояние имеет энергию выше любого его горба.

Квантовые программисты

Все, наверное, слышали о квантовых компьютерах, которые, ну вот совсем скоро, будут созданы и будут решать все задачи, которые обычным, классическим компьютерам не по зубам. Я о них, видимо, в первый раз услышал где-то году в 97, сразу после прослушивания лекций по криптографии, в которых как раз объяснялась криптосистема с открытым ключом, основанная на сложности задачи факторизации. Поэтому важность алгоритма Шора я понял довольно быстро и при случае гордо объяснял всю историю.
Замечу, что никогда ни на одну секунду я не допускал, что реальный квантовый компьютер  будет создан в обозримом будущем (ну, скажем, лет за сто). Под "реальным квантовым компьютером" я понимаю, конечно, устройство, способное успешно конкурировать с обычными классическими компьютерами, а не просто раскладывать на множители число 15. Однако новости от компании D-wave, если им верить, показывают, что пора уже подумать о новой специальности в CS --- квантовый программист, а азы квантовой информатики нужно учить в школах и детских садах.

Ниже --- мой вклад в дело ликвидации квантовой компьютерной безграмотности. Это симулятор двухбитного квантового компьютера с набором комманд {Not,H,cNot,cH}, где две первые комманды --- однобитовые квантовые гейты, а две последние --- двухбитовые. Полноценную программу писать пока нельзя (возможно, в последующих постах это будет реализовано), так что работать можно в интерактивном режиме. Задача --- написать программу производящую определенное преобразование над входными данными. Сейчас объясню какое.

Кубит, как известно, --- двухуровневая квантовомеханическая система, и одной из ее естественных реализаций (хотя, возможно, не на практике) является спин 1/2. Нолик и единица представляются как \[|0\rangle=|\downarrow\rangle\,,\quad |1\rangle=|\uparrow\rangle\,.\] Квантовый регистр (так сказать, курегистр), соответственно, это набор кубитов, которые могут находится в запутанных состояниях. Квантовое вычисление состоит в выполнении некоторого преобразования над курегистром. Напомним, кстати, важное отличие квантового вычисления от классического. В классическом вычислении одной из самых популярных операций является операция присваивания. Можно присвоить любому биту заданное значение ноль или единица. В частности, можно очистить регистр, присвоив всем его битам значение ноль. В квантовом вычислении операция присваивания невозможна, поскольку она нарушает унитарность. То же самое можно сказать и про операцию копирования. А вот операция инверсии бита Not, которая меняет ноль на единицу, и наоборот --- возможна. В значительной степени последствия унитарности можно описать как обратимость любого вычисления: зная output и зная программу вычисления можно однозначно восстановить input (в частности, в процессе квантового вычисления ничего нельзя стереть бесследно). Нужно, правда, сказать, что унитарность, и, в частности, обратимость не сильно мешают для симуляции классических вычислений. Просто надо добавить дополнительные биты, заранее установленные в определенное состояние. Кстати, легко сообразить, что максимально необходимое число дополнительных битов равно числу основных.

 Итак, любое квантовое вычисление является унитарным преобразованием над курегистром.
Унитарное преобразование может затрагивать один или несколько битов. Важно, что любое унитарное преобразование может быть реализовано как суперпозиция одного типа двухбитного преобразования, cNot, и однобитных преобразований общего вида. С учетом линейности этих преобразований, их можно задать действием на базисные состояния: \[\mathtt{cNot}_{i,j}: |0_i,q_j\rangle\to |0_i,q_j\rangle\,,\quad |1_i,q_j\rangle\to |1,\bar{q}_j\rangle\,,\]
\[\left(\begin{array}{2}a&b\\c&d\end{array}\right)_{i}: |0_i\rangle\to a|0_i\rangle+b|1_i\rangle\,,\quad |1_i\rangle\to c|0_i\rangle+d|1_i\rangle\,.\] Здесь $\bar{0}=1\,,\ \bar{1}=0$, а во второй строчке $\left(\begin{array}{2}a&b\\c&d\end{array}\right)$ --- унитарная матрица. Операции $\mathtt{Not}$ и $\mathtt{H}$ являются частными случаями однобитовых операций: \[\mathtt{Not}_i=\mathtt{X}_i=\left(\begin{array}{2}0&1\\1&0\end{array}\right)_{i}\,,\quad \mathtt{H}_i=\left(\begin{array}{2}1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\end{array}\right)_{i}\]
Операцию $\mathtt{cNot}$ удобно записать через проекторы: \[\mathtt{cNot}_{i,j}=\mathtt{P}^0_i\otimes \mathtt{I}_j+\mathtt{P}^1_i \otimes \mathtt{Not}_j\,,\] где $\mathtt{P}^0_i=\left(\begin{array}{2}0&0\\0&1\end{array}\right)_i\,,\,\,  \mathtt{P}^1_i=\left(\begin{array}{2}1&0\\0&0\end{array}\right)_i$. Используя свойства проекторов легко проверить, что  $\mathtt{cNot}$ -- действительно унитарная операция.  Для удобства наш квантовый процессор в числе комманд будет иметь еще одну двухбитовую унитарную операцию \[\mathtt{cH}_{i,j}=\mathtt{P}^0_i\otimes \mathtt{I}_j+\mathtt{P}^1_i \otimes \mathtt{H}_j\,,\]
Ну вот, теперь можно сформулировать и задачу. На вход программы подаются запутанные состояния двух кубитов, соответствующие определенным спинам и проекциям спина системы: \[|S=0,S_z=0\rangle=\frac1{\sqrt{2}}\left(|01\rangle-|10\rangle\right)\]
\[|S=1,S_z=-1\rangle=|00\rangle,\quad |S=1,S_z=0\rangle=\frac1{\sqrt{2}}\left(|01\rangle+|10\rangle\right), \quad |S=1,S_z=1\rangle=|11\rangle.\]
Наша задача --- придумать алгоритм, который переставляет по циклу проекции. То есть, программа, получив на вход состояние $|S,S_z\rangle$  с $S_z<S$ должна выдавать состояние $|S,S_z+1\rangle$, а состояние  $|S,S_z=S\rangle$ должна переводить в $|S,S_z=-S\rangle$.
Интерфейс такой: чтобы провести двухбитовую операцию (cNot или cH), нажимаем сначала на кнопку над первым битом, а затем над вторым. Однобитовые операции (Not или H) получаются двойным нажатием одной кнопки. Когда состояние уже такое, какое требуется, оно выделяется зеленым цветом. Например, $|S=0,S_z=0\rangle$ сразу зеленое, так как оно должно остаться на месте.

---

→

Desired result test1 1 |1⟩ |1⟩ test2 √1/2 |0⟩ |1⟩ √1/2 |1⟩ |0⟩ test3 1 |0⟩ |0⟩ test4 -√1/2 |0⟩ |1⟩ √1/2 |1⟩ |0⟩

Эффект Ааронова-Бома и суперсимметрия (продолжение)

Это продолжение предыдущего поста. Вот его краткое содержание. Рассматривая гамильтониан частицы в поле соленоида \[ \mathrm{H}=\frac{\boldsymbol{\pi}^{2}}{2m}-\mu\sigma_{z}H_{z}, \] мы заметили, что при $g=4\mu m/e=2$ его можно записать в виде $\mathrm{H}=2Q_{1}^{2}=2Q_{2}^{2}$, где $Q_{1}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}/2\sqrt{m}$ и $Q_{2}=-i\sigma_{z}Q_{1}$ --- антикоммутирующие операторы.
Радиальное уравнение выглядит так \begin{equation} -P^{\prime\prime}\left(\rho\right)-\frac{1}{\rho}P^{\prime}\left(\rho\right)+\left(\frac{W\left(\rho\right)^{2}}{\rho^{2}}+\frac{\sigma}{\rho}W^{\prime}\left(\rho\right)\right)P\left(\rho\right)=k^{2}P\left(\rho\right)\label{eq:Pequation-2} \end{equation} Функция $W\left(\rho\right)$ зависит от распределения поля в соленоиде и обладает свойствами \[ W\left(0\right)=M,\quad W\left(\rho>R\right)=W=M-\Phi/\Phi_{0}\,. \] Благодаря суперсимметрии, нам удалось найти одно из решений этого уравнения в пренебрежении правой частью (т.е., при $\rho\ll1/k$): \begin{equation} P_{1}\left(\rho\right)=\exp\left[\sigma\int_{0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\label{eq:sol} \end{equation} Тут следует заметить, что интеграл в экспоненте расходится на нижнем пределе если только $M\neq0$. Поэтому лучше писать, скажем, так \begin{equation} P_{1}\left(\rho\right)=\exp\left[\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\label{eq:sol-2} \end{equation} Далее есть четыре различных случая \begin{align*} \mathrm{I}. & \sigma M\geq0\&\sigma W>0,\\ \mathrm{II}. & \sigma M\geq0\&\sigma W<0,\\ \mathrm{III}. & \sigma M<0\&\sigma W>0,\\ \mathrm{IV}. & \sigma M<0\&\sigma W<0. \end{align*} В случаях $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$ функция $P_{1}\left(\rho\right)$ ведет себя при $\rho\to0$ как $\rho^{\left|M\right|}$, как и следует, конечно. При этом в случае $\mathrm{II}$ при $\rho>R$ мы получаем аномальное поведение $\rho^{-\left|W\right|}$, за которым мы, собственно, и охотились.
В случаях $\mathrm{III}$ и $\mathrm{IV}$ функция $P_{1}\left(\rho\right)$ ведет себя при $\rho\to0$ похабно --- как $\rho^{-\left|M\right|}$, что нас, конечно, не устраивает. Найдем второе решение, имеющее в нуле правильную асимптотику. Ищем его методом вариации постоянных \begin{equation} P_{2}\left(\rho\right)=C\left(\rho\right)P_{1}\left(\rho\right)\label{eq:sol-1} \end{equation}  Для функции $C\left(\rho\right)$ имеем уравнение \begin{equation} C^{\prime\prime}\left(\rho\right)+2C^{\prime}\left(\rho\right)\frac{\sigma}{\rho}W\left(\rho\right)+\frac{1}{\rho}C^{\prime}\left(\rho\right)=0\label{eq:Pequation-2-1} \end{equation} Считая выполненным условие $\sigma M<0$, получаем \begin{align*} C^{\prime}\left(\rho\right) & =\frac{1}{R}\exp\left[-\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}\left(2\sigma W\left(\rho\right)+1\right)\right]=\frac{1}{\rho}\exp\left[-2\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\\ C\left(\rho\right) & =\int_{0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}\exp\left[-2\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right] \end{align*} Легко определить зависимость коэффициента $C$ при $\rho\to0$: интеграл в показателе экспоненты равен $-2\sigma M\ln\rho+\mathrm{const}$, поэтому $C\left(\rho\right)\sim\rho^{-2\sigma M}=\rho^{2\left|M\right|}$. Соответственно, $P_{2}\left(\rho\right)\sim\rho^{\left|M\right|}$, как и следует.
Теперь определим поведение коэффициента $C$ при $\rho>R$: \begin{align*} C & =\int_{0}^{R}\frac{d\rho}{\rho}\exp\left[-2\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\right]+\frac{1}{2\sigma W}\left(1-\left(\frac{\rho}{R}\right)^{-2\sigma W}\right)\\  & \sim\begin{cases} \rho^{0} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{III}\\ \rho^{2\left|W\right|} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{IV} \end{cases} \end{align*} Учитывая, что \[ P_{1}\left(\rho\right)\sim\rho^{\sigma W}=\begin{cases} \rho^{\left|W\right|} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{III}\\ \rho^{-\left|W\right|} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{IV} \end{cases}, \] получаем, что нужное нам решение $P_{2}\left(\rho\right)$ для обоих случаев $\mathrm{III}$ и $\mathrm{IV}$ при $R\ll\rho\ll1/k$ ведет себя как $\rho^{\left|W\right|}$.
Резюмируя, можно сказать, что аномальное поведение радиальной волновой функции в пределе $R\to0$ наблюдается только в случае $\mathrm{II}$, т.е., при $\sigma M\geq0\&\sigma W<0$. В случаях же $\mathrm{III}$ и $\mathrm{IV}$ состояние не зануляется действием операторов $Q_{1,2}$.

Эффект Ааронова-Бома и суперсимметрия

Рассмотрим нерелятивистскую частицу в поле соленоида. Гамильтониан Паули выглядит так:\[ \mathrm{H}=\frac{\boldsymbol{\pi}^{2}}{2m}-\mu\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{H}, \]Здесь $\boldsymbol{\pi}=\mathbf{p}-e\mathbf{A}$ --- удлиненный импульс. Поле точечного соленоида имеет вид\[ \mathbf{A}=\frac{\Phi}{2\pi}\frac{\mathbf{e}_{z}\times\mathbf{r}}{\rho^{2}}. \]Зависимость волновой функции от $z$ тривиальна и далее мы соответствующую часть гамильтониана не рассматриваем. В частности, мы считаем далее, что $\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)$. Переменные разделяются в координатах $\rho,\phi$ и, если искать решение в виде $\psi=e^{iM\phi}P\left(\rho\right)$, получим на функцию $P\left(\rho\right)$ уравнение\begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}+\left(k^{2}-\frac{\left(M-\Phi/\Phi_{0}\right)^{2}}{\rho^{2}}\right)P=0\label{eq:Pequation} \end{equation}Здесь $\Phi_{0}=\frac{2\pi\hbar c}{e}$ --- квант магнитного потока. Поскольку магнитное поле отсутствует во всей области $\rho>0$, это уравнение имеет одинаковый вид для частицы с любым спином. Будем считать, что $W=M-\Phi/\Phi_{0}$ не является целям числом. Решения уравнения (\ref{eq:Pequation}) очевидны --- функции Бесселя порядка $\pm\left|W\right|$. При $\rho\to0$ функция Бесселя с отрицательным индексом стремится к бесконечности, поэтому выбираем решение, имеющее приличную асимптотику в нуле: \[ P\left(\rho\right)\propto J_{\left|W\right|}\left(k\rho\right)\,. \]Здесь читателю предлагается подумать первый раз. Все правильно?

Разберемся. Понятно, что бесконечно тонкий соленоид означает предел соленоида конечного радиуса $R$ при $R\to0$. Или даже не предел, а просто ситуацию, когда $kR\ll1$. Рассмотрим эту ситуацию подробно. Для соленоида конечного радиуса имеем \[ \mathbf{A}=\frac{\Phi}{2\pi}\frac{\mathbf{e}_{z}\times\mathbf{r}}{\rho^{2}}f\left(\rho/R\right), \] где функция $f\left(x\right)$ стремится к нулю при $x\to0$ и равна единице при $x\geq 1$. Например, для случая однородного поля внутри соленоида эта функция равна $f\left(x\right)=\min\left(1,x^{2}\right)$. В общем случае магнитное поле внутри соленоида выражается через производную этой функции:\[ H\left(\rho\right)=\frac{\Phi f^{\prime}\left(\rho/R\right)}{2\pi\rho R} \] Соответственно, уравнение на $P\left(\rho\right)$ имеет вид\begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}+\left(k_{\perp}^{2}-\frac{\left(M-\frac{\Phi}{\Phi_{0}}f\left(\rho/R\right)\right)^{2}}{\rho^{2}}+\sigma\frac{g}{2}\frac{\Phi}{\Phi_{0}}\frac{f^{\prime}\left(\rho/R\right)}{\rho R}\right)P=0\label{eq:Pequation1} \end{equation}Здесь $\sigma=\pm1$ для спина вверх/вниз, $g=4m\mu/e$. Если частица бесспиновая, можно положить $g=0$. Поскольку $kR\ll1$, анализ проводится абсолютно аналогично анализу медленных частиц в § 132 3-его тома Ландау&Лифшица. На расстояниях больше радиуса соленоида, но много меньше $1/k$ уравнение имеет вид\begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}-\frac{W^{2}}{\rho^{2}}P=0\label{eq:Pequation2} \end{equation}Общее решение --- комбинация степеней, которую мы запишем для удобства как\begin{equation} c_{1}\left(\rho/R\right)^{\left|W\right|}+c_{2}\left(\rho/R\right)^{-\left|W\right|}\label{eq:rhollR} \end{equation}Коэффициенты $c_{1,2}$ не зависят от $k$ и определяются граничными условиями в нуле. Из соображений размерности сразу очевидно, что, с точностью до общей нормировки, они не зависят и от $R$. Волновая функция при произвольных $\rho>R$ является линейной комбинацией $J_{\pm\left|W\right|}$ с коэффициентами, которые, используя асимптотику функций Бесселя, легко выразить через $c_{1,2}$:\[ P\left(\rho\right)=c_{1}\Gamma\left(\left|W\right|+1\right)\left(kR/2\right)^{-\left|W\right|}J_{\left|W\right|}\left(k\rho\right)+c_{2}\Gamma\left(-\left|W\right|+1\right)\left(kR/2\right)^{\left|W\right|}J_{-\left|W\right|}\left(k\rho\right) \]Ну вот теперь в этой формуле мы можем перейти к пределу $R\to0$. В этом пределе первый член доминирует над вторым и, да, мы получаем\[ P\left(\rho\right)\propto J_{\left|W\right|}\left(k\rho\right)\,. \]Здесь читателю предлагается подумать второй раз. Все правильно?

Нет, не совсем. Это рассуждение годится, когда $c_{1}\neq0$. А вот если $g=2$ может получиться как раз $c_{1}=0$! Чтобы это доказать, обозначим $W\left(\rho\right)=M-\frac{\Phi}{\Phi_{0}}f\left(\rho/R\right)$. Тогда во всей области $\rho\ll 1/k$ мы имеем \begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}-\left(\frac{W^{2}}{\rho^{2}}+\frac{\sigma}{\rho}W^{\prime}\right)P=0\label{eq:Pequation3} \end{equation}Подстановкой легко проверить, что у этого уравнения есть решение\begin{equation} P\left(\rho\right)=\exp\left[\sigma\int_{0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\label{eq:sol} \end{equation}Учитывая, что при $\rho>R$ величина $W\left(\rho\right)=W$ не меняется, получаем\[ P\left(\rho>R\right)=C\left(\frac{\rho}{R}\right)^{\sigma W}, \]где $C=\exp\left[\sigma\int_{0}^{R}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]$. Таким образом, когда $\mathrm{sgn}W=-\sigma$, мы получаем чудо: для любой функции $f\left(x\right)$ коэффициент $c_{1}$ в (\ref{eq:rhollR}) строго зануляется. Конечно, хотелось бы понять, откуда такое чудо взялось. Вспоминаем, что при $g=2$ гамильтониан Паули можно записать в виде\[ \mathrm{H}=\frac{\left[\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}\right]^{2}}{2m}\,. \]Введем операторы \[ Q_{1}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}/2\sqrt{m},\quad Q_{2}=-i\sigma_{3}Q_{1}\,. \]Напомню, что жирные символами мы обозначаем двумерные вектора в плоскости $xy$. Легко сообразить, что\[ \left\{ Q_{i},Q_{j}\right\} =\delta_{ij}\mathrm{H}. \] А что это за соотношение? Правильно, это самый простейший пример суперсимметричной алгебры. Нам, правда, хотелось бы сразу увидеть суперсимметрию в радиальном гамильтониане. Но тут есть проблемы. Дело в том, что хотя сам гамильтониан коммутирует с $l_{z}=-i\partial_{\varphi}$, операторы $Q_{1,2}$ --- уже нет. Поэтому определить операторы сразу для радиального уравнения не удается. Тем не менее, выбрасывая $k^{2}$ из уравнения, мы, фактически, получаем уравнение на состояние с энергией, равной нулю. Поскольку гамильтониан выражается через квадрат эрмитова оператора, это состояние, если существует, является основным и может быть найдено из уравнения $Q_{1}\psi=0$ или $Q_{2}\psi=0$. Если мы будем искать решение в виде собственной функции операторов $l_{z}$ и $\sigma_{z}$, как $\psi=e^{iM\varphi}\phi_{\sigma}P\left(\rho\right)$, то как раз получим (\ref{eq:sol}). Итак, подытожим.
Почти для любого $\mu$ наша прескрипция выбирать в качестве решения радиального уравнения функцию $J_{\left|W\right|}\left(kr\right)$ является правильной. Исключение составляет случай, когда $\mu=\mu_{B}=e/2m$ (или $\mu=-\mu_{B}$). Причиной такого необычного исключения можно считать суперсимметрию гамильтониана для этого случая. Для этих случаев мы должны выбирать $J_{-\sigma\left|W\right|}\left(kr\right)$. Замечательно этот исключительный случай как раз соответствует нерелятивистскому электрону.

---

P.S. Ну и, да, здесь читателю тоже предлагается подумать, не обманул ли я где-нибудь его.
P.P.S. Исправил некоторые опечатки (ну и ошибки, чего уж там). Но это еще не конец истории, продолжение следует.

Булевы алгебры, проекторы и квантовые игры

Размышляя о проекторах, вот, что я придумал! Рассмотрим следующие функции\[n(x)=1-x,\]\[a(x,y)=xy,\]\[o(x,y)=x+y-xy\]На множестве {0,1} эти функции дают обычные логические not,and и or, то есть задают простейшую булеву алгебру.
То же самое можно сказать более вычурно: Функции $n,a,o$ задают булеву алгебру  на множестве корней уравнения $x^2-x=0$.
Кажется, что это утверждение не несет ничего нового, ведь уравнение как раз и имеет два корня --- $0$ и $1$. Однако тут мы вспоминаем, что это уравнение является также определяющим уравнением для проекторов. Легко проверить, что если мы возьмем множество коммутирующих проекторов, замкнутое относительно операций $n$ и $a$, то приведенные выше функции определяют булеву алгебру. Далее операции $n,a,o$ будем обозначать как в логике:$\lnot,\land,\lor$.
Кто-то скажет "что толку в такой булевой алгебре". Попробую объяснить. Вспомним, что в квантовой механике коммутирующие эрмитовы операторы соответствуют одновременно измеримым величинам. Более того, если, скажем, есть у нас проектор $P_0=|\psi_0\rangle\langle\psi_0|$ на какое-нибудь состояние, то вероятность обнаружения этого состояния в состоянии $\psi$ равна среднему от проектора \[\langle\psi|P_0|\psi\rangle\] Ага, теперь все становится понятно. Пусть у нас есть запутанное состояние двух спинов. Например, такое\[|\psi\rangle=\frac1{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle-|\downarrow\rangle|\uparrow\rangle).\]  И мы, скажем, хотим определить вероятность измерения, которое покажет, что первый спин торчит вдоль оси $z$ или второй спин торчит вдоль оси $x$ (или то и другое). Очень просто,эта вероятность равна:\[\langle\psi|P_1^z\lor P_2^x|\psi\rangle=\frac34,\] где $P_1^z=\frac12(1+\sigma_1^z)$, $P_2^x=\frac12(1+\sigma_2^x)$. То есть наше определение измерения напрямую транслировалось в ответ, даже задумываться не пришлось. Это, конечно, простейший пример, но идея понятна. Например, операторы, соответствующие особо запутанным измерениям можно, перед тем как усреднять, упрощать по правилам логики.

Заметим, между прочим, что определенные функции $n,a,o$ имеют простую классическую вероятностную интерпретацию: если $x$ и $y$ --- вероятности независимых событий, то $n,a,o$, соответственно, вероятности того, что первое не произойдет, что произойдут оба и что произойдет хотя бы одно. Результаты измерения спинов в запутанном состоянии, вообще говоря, не являются независимыми, но для проекторов действуют все те же простые правила.

Дальше воображение рисует кучу приложений, например, в теории квантовых игр или в квантовых компьютерах.

Может кто это уже придумал все, а? Уж больно красиво.

Теорема Левинсона

Сегодня, прибираясь в своей коллекции статей, обнаружил одну работу, которую я, очевидно, скачал, чтобы потом разобраться, и забыл. Про теорему Левинсона. Я, вообще, питаю слабость к строгим утверждениям в области физики, поэтому решил все-таки разобраться. Саму статью Левинсона [1] я добыть не смог, поскольку напечатана она в журнале с длинным малопонятным названием Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd., но нашел зато совсем простую работу Веллнера [2] которую тут же и прочитал.
Так вот, теорема Левинсона --- это красивое утверждение о связи фазы рассеяния и количества связанных состояний в потенциале (в уравнении Шредингера). Фаза рассеяния, как известно, измеряется в экспериментах по рассеянию, поэтому извлечение из этой фазы информации о потенциале, безусловно, имеет важное значение. Если в обратной задаче рассеяния речь идет о том, чтобы полностью восстановить по данным рассеяния потенциал, то теорема Левинсона решает гораздо более скромную задачу, но не перестает от этого быть изящным и полезным фактом.
Итак, рассмотрим радиальное уравнение (р.у.) Шредингера
\[ -\chi_l^{\prime\prime} +\tilde{V}_l\chi_l=k^2\chi_l , \] где $\tilde{V}_l=V+l(l+1)/r^2$ --- эффективный потенциал с учетом центробежной части.
Фаза рассеяния $\delta_l(k)$ определяется асимптотикой волновой функции: \[ \chi_l(k,r)\to 2\sin(kr-\pi l/2+\delta_l(k)) \] Далее, для простоты изложения, кладем $l=0$. Решение при нулевом потенциале будем обозначать нижним индексом $F$: \[ \chi_F(k,r)=2\sin(kr) \] Умножим производную р.у. по $k$ на $\chi$ и вычтем р.у., умноженное на производную $\chi$ по тому же $k$: \[ (\dot\chi\chi^{\prime}-\chi\dot\chi^{\prime})^\prime=2k\chi^2, \] Точками здесь обозначены производные по $k$. Интегрируем по $r$ от нуля до достаточно большого $R$, такого, чтобы при $r=R$ уже можно было пользоваться асимптотикой. Получаем \[ \dot\delta=\frac12\int_0^R dr\chi^2-R+\frac{\sin(2kR+2\delta)}{2k}, \] Далее мы представляем \begin{gather} \frac{\sin(2kR+2\delta)}{2k} =-\lim_{\epsilon\to 0}\int_R^\infty dr \,e^{-\epsilon r}\cos(2kR+2\delta)\\ =\lim_{\epsilon\to 0}\int_R^\infty dr\, e^{-\epsilon r} [2\sin^2(kR+\delta)-1] =\lim_{\epsilon\to 0}\int_R^\infty dr \,e^{-\epsilon r} \left[\frac12\chi^2-1\right] \end{gather} и получаем симпатичную формулу \[ \dot\delta=\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty dr\,e^{-\epsilon r}\left[\frac12\chi^2-1\right] =\frac12\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty dr\,e^{-\epsilon r}\left[\chi^2-\chi_F^2\right]. \] Второй переход справедлив, вообще говоря, для $k\neq 0$, но это мелочь. Если мы проинтегрируем это равенство по $k$, то получим \[ \delta(\infty )-\delta(0)= \frac12\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty dr\,e^{-\epsilon r}\int_0^\infty dk\left[\chi^2-\chi_F^2\right]. \] Ну вот, теперь еще вспоминаем соотношение полноты для радиальных функций \[ \sum_{n=1}^{N} \chi_n(r)\chi_n(r^\prime)+\int_0^\infty\frac{dk}{2\pi}\chi(k,r)\chi(k,r^\prime)=\delta(r-r^\prime), \] где $N$ --- число связанных состояний. Это соотношение справедливо и для нулевого потенциала, когда $N=0$: \[ \int_0^\infty\frac{dk}{2\pi}\chi_F(k,r)\chi_F(k,r^\prime)=\delta(r-r^\prime), \] Разность двух последних соотношений и последующая замена $r^\prime \to r$ дает \[ \int_0^\infty dk\left[\chi^2-\chi_F^2\right]=-2\pi\sum_{n=1}^{N} \chi_n^2 \]

Окончательно, получаем теорему Левинсона: \[ \delta(\infty )-\delta(0)= -\pi\int_0^\infty dr\sum_{n=1}^{N} \chi_n^2 =-\pi N,. \] Изменение фазы рассеяния при изменении $k$ от нуля до бесконечности равно числу связанных состояний, умноженному на $-\pi$.

Выполнение теоремы Левинсона для потенциала $U(r)=-\frac{U_0}{\cosh^2 r}$. Зеленая кривая --- фаза рассеяния для $l=0$ как функция от энергии (правая шкала --- $E/U_0$). Уровни энергии в потенциале показаны пунктиром. Потенциал (показан синей кривой) постепенно углубляется и когда в нем появляется новый уровень, фаза рассеяния скачет на $\pi$.

Честно говоря, у меня такое жонглирование пределами всегда вызывает настороженность, но в данном случае результат достаточно красив, чтобы быть правильным, так что оставим строгий вывод математикам.
Да, забыл сказать, что неоднозначность определения фазы (к которой можно прибавить $\pi m$) не мешает этому соотношению. Нужно просто считать, что фаза определена как непрерывная функция $k$.
[1] N. Levinson, Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd., 25(9) (1949)
[2] M. Wellner, Amer. J. Phys. 32 (1964) 787.

Научная жизнь

осторожно, бесстыдная самореклама

Вчера наконец-то послали (с Ваней и А.И.) в архив работу по квантовой механике. Работа находилась в вялотекущем состоянии довольно долго, может год, может больше. Причина такого торможения --- в том, что для продвижения приходилось преодолевать некоторые предрассудки, весьма распространенные среди теор. физиков. Мое отношение к задаче в разные моменты времени можно выразить различными комбинациями "это интересно", "это патологично" и "это тривиально".
Ну кто бы мог подумать, что с виду нормальный, эрмитовый гамильтониан может привести к эффективно неупругому рассеянию? Кто бы мог подумать, что стационарные решения могут быть локально неинтегрируемые с квадратом, да и просто невозводимые в квадрат, а кроме того, еще и странно вырожденными в радиальной задаче? И при этом пригодными для разложения временного решения?

Ниже --- анимация рассеяния сферического пакета, локализованного изначально на больших $r$. Отразилась только часть пакета, а часть "прилипла". Если вам такая динамика не кажется странной, или даже невозможной, значит вы плохо учили квантовую механику.

---

P.S. Теперь на очереди другая задача --- написание пакета, реализующего давнюю тайную мечту любого ученого --- решение всех проблем в автоматическом режиме, включая в перспективе и написание статьи с изложенными результатами. Когда напишу --- моя миссия на работе сведется к нажатию кнопки утром и засылке в архив готовой работы вечером. Пока написанное выглядит так:

Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова

Фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова является, как известно, множителем в сечении или вероятности, учитывающим кулоновское взаимодействие конечных (или начальных) частиц при малых скоростях. Важность этого множителя обусловлена тем, что даже при малом взаимодействии он может существенно отличаться от единицы. Дело в том, что теория возмущений строится формально как степенной ряд по параметру, характеризующему силу взаимодействия. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) этот параметр равен $\alpha=e^2/\hbar c\approx 1/137.036$ (Далее работаем в системе $\hbar=c=1$). Наивно можно полагать, что поправки на взаимодействие подавлены по этому параметру (в КЭД --- на два порядка). Однако есть определенный класс поправок, которые оказываются пропорциональны не просто $\alpha^n$, а $(\alpha/v)^n$, где $v$ --- относительная скорость частиц. Если частицы релятивистские, т.е. $v\sim 1$, такие поправки малы, как и поправки, не содержащие скорость в знаменателе, но когда $v\ll 1$ такие члены могут стопроцентно изменить величину амплитуды.
К счастью, поправки такого вида можно вычислить с помощью обычной нерелятивистской квантовой механики. Пусть для определенности пара медленных частиц появляется в конечном состоянии. Тогда амплитуда $M$ вероятности такого процесса антилинейна по волновой функции пары. Обозначая за $\psi(\mathbf{r})$ координатную часть волновой функции этой пары, зависящую от относительного положения частиц, мы можем записать\[ M=\int d\mathbf{r}\psi^*(\mathbf r)K(\mathbf{r}), \] где $K(\mathbf r)$ --- функция, зависящая от процесса. В пренебрежении взаимодействием $\psi(\mathbf{r})$, имеет вид \[ \psi_0(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{p r}}. \] Кулоновское взаимодействие $-\alpha/r$, конечно, меняет волновую функцию на (см. ЛЛ III,136.9):\[ \psi_С(\mathbf r)=e^{{\pi\alpha\over 2v}}\Gamma\left(1+i{\alpha\over v}\right)e^{i\mathbf{pr}}F\left(-i{\alpha\over v},1, -i(pr+\mathbf{pr})\right). \] Таким образом, фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова равен\[ S_{\mathrm{SGS}}=\left|\frac{\int d\mathbf{r}\psi_C^*(\mathbf r)K(\mathbf{r})}{\int d\mathbf{r}\psi_0^*(\mathbf r)K(\mathbf{r})}\right|^2 \] Польза от этой формулы появляется в том случае, когда у нас есть возможность посчитать этот фактор не из процесс-зависящего определения, а универсально. Это можно сделать, когда характерный размер спадания ядра $K(\mathbf r)$ мал по сравнению с характерным размером изменения волновой функции. Типичный пример --- рождение пары на пороге. Тогда ядро $K$ имеет размер порядка комптоновской длины волны рождающихся частиц $\hbar/mc$, что действительно мало по сравнению с $\hbar/mv$ (мы рассматриваем нерелятивизм). Тогда мы выносим плавно меняющуюся $\psi$ из-под интеграла и получаем \[ S_{\mathrm{SGS}}=\left|\frac{\psi_С^*(0)}{\psi_0^*(0)}\right|^2={2\pi\alpha/v\over 1-\exp(-2\pi\alpha/v)} \] На первый взгляд кажется, что это универсальное выражение справедливо всегда независимо от специфики функции $K(\mathbf{r})$, при условии, конечно, что ее размер мал по сравнению с $\hbar/mv$. Но на самом деле тут есть одна засада: все это годится, если $\int d\mathbf r K(\mathbf r)$ не равен нулю. Это не так, если в амплитуду дают вклад только ненулевые орбитальные моменты. В этом случае интеграл от $K(\mathbf r)$ зануляется за счет интегрирования по углам и мы получаем неопределенность типа 0/0. В этом случае нам нужно начать раскладывать $\psi(\mathbf r)$ и оставить первый неисчезающий после интегрирования член разложения. Можно вместо этого сразу использовать парциальные разложения\[ \psi_0(\mathbf{r})=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}_r\mathbf{n}_p)R_{pl}^0(r) \,,\quad \psi_C(\mathbf{r})=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}_r\mathbf{n}_p)R_{pl}^C(r) \]Тогда фактор Зоммерфельда-Гамова-Сахарова для углового момента $l$ выражается как предел отношения радиальных волновых функций\[ S_{\mathrm{SGS}}(l)=\lim_{r\to 0} \left|R_{pl}^C(r)\over R_{pl}^0(r)\right|^2. \]Радиальные волновые функции имеют не очень простой вид (ЛЛ III, 36.27)\[ R_{pl}^0(r)=j_{l}(pr)\]\[ R_{pl}^C(r)=e^{{\pi\alpha\over 2v}}\Gamma\left(l+1+i{\alpha\over 2v}\right)\frac{(2pr)^l}{(2l+1)!}e^{ipr} F\left(l+1-i{\alpha\over v},2l+2, -2ipr\right), \] но нам нужны только разложения при маленьких $r$:\[ R_{pl}^{0}(r)\approx\frac{\left(pr\right)^{l}}{\left(2l+1\right)!!}=\frac{\left(2pr\right)^{l}l!}{\left(2l+1\right)!},\quad R_{pl}^C(r)=e^{-\frac{\pi\alpha}{2v}}\Gamma\left(l+1+i\frac{\alpha}{v}\right)\frac{(2pr)^{l}}{(2l+1)!} \]Получаем окончательно\[ S_{\mathrm{SGS}}(l)=e^{\frac{\pi\alpha}{v}}\left|\Gamma\left(l+1+i\frac{\alpha}{v}\right)\right|^2={2\pi\alpha/v\over 1-\exp(-2\pi\alpha/v)}\prod_{s=1}^{l}\left(1+{\alpha^2\over v^2s^2}\right) \]Заметим, что при очень маленьких $v$ фактор $S_{\mathrm{SGS}}(l)$ ведет себя как $v^{-2l-1}$. Если вспомнить множитель $(pr)^l$ в радиальной функции и множитель $p$ из фазового объема родившихся частиц, то можно сделать вывод о конечности порогового сечения для любого $l$ в случае притяжения.
P.S. И кстати, теперь я совершенно не понимаю, зачем нужно этот множитель обобщать на релятивистский случай.

Некорректный вопрос

Сегодня было обсуждение курса квантовой механики и возник вопрос о корректности следующей задачи:

Задача. Найти коэффициент отражения для потенциала $V(x)=-G\sum_{n=0}^{\infty}\delta(x-a n)$.

А что, интересно, народ про нее думает?

Силы Ван-дер-Ваальса

Применяющие квантовую механику в повседневной работе часто склонны интерпретировать волновую функцию как обычное классическое поле, примерно такое же, как электромагнитное. Волновая функция подчиняется вполне детерминистским законам --- уравнению Шредингера (ну, или его релятивистским аналогам). Как уравнения Максвелла управляют эволюцией электромагнитного поля, так уравнение Шредингера управляет эволюцией волновой функции. Квантовой неопределенности отводится место только в процессе измерения, который для теоретика сводится обычно к простому рецепту вычисления амплитуды вероятности и возведения ее по модулю в квадрат. Электрон в атоме адептом такой точки зрения воспринимается как размазанное вокруг ядра облачко отрицательного заряда. Действительно, во многих случаях такая картина может показаться правильной, причем не только качественно, но и количественно. Например, если рассеивать заряженные частицы (можно те же электроны) на атоме водорода, борновское сечение упругого рассеяния совпадет с сечением в электрическом поле потенциала, который создается распределением заряда \[\rho(\mathbf{r})=|e|[\delta(\mathbf{r})-|\psi(\mathbf{r})|^2]\,\] т.е. можно считать электрон размазанным вокруг ядра с плотностью заряда $e|\psi(\mathbf{r})|^2$.
Однако, такое представление о волновой функции  в некоторых случаях может сбить с толку. Я сейчас не собираюсь разбирать различные философские вопросы, типа вопроса имеет ли один электрон волновую функцию, а вместо этого разберу задачу вычисления потенциала взаимодействия двух атомов на больших расстояниях, т.н. сил Ван-дер-Ваальса.
Как известно, в молекулярных системах благодаря большой массе ядер по сравнению с массой электрона можно и нужно использовать приближение Борна-Оппенгеймера, в котором вся электронная часть гамильтониана преобразуется в эффективный добавочный потенциал для ядер. Этот потенциал вычисляется как энергия электронов при фиксированном расположении ядер.
Возьмем сначала атом водорода с ядром в начале координат и протон (ядро водорода) в точке $\mathbf{R}$. Какова зависимость энергии их взаимодействия от $R$ при больших $R$? Сделаем оценку, опираясь на представление об электроне как о зарядовом облаке с характерным размером $a_B=\hbar^2/me^2$. Считаем, что под действием электрического поля второго ядра это облако немного смещается в направлении $\mathbf{R}$ на расстояние $r_0$. Тогда приращение энергии взаимодействия облака со своим ядром можно оценить как \[eQ/r_0\sim e^2 (r_0/a_B)^3/r_0=e^2r_0^2/a_B^3\ .\] Здесь $Q$ --- заряд электрона, сосредоточенный в сфере радиуса $r_0$. Зато энергия взаимодействия облака с чужим ядром уменьшается на величину $|e| r_0\mathcal{E}\approx e^2 r_0/R^2$. Поэтому общее изменение энергии запишем в виде\[\delta E\sim e^2(r_0^2/a_B^3-r_0/R^2)\] Минимум достигается при $r_0\sim a_B^3/2R^2$ и потенциал между ядрами равен по порядку величины \[U(R)=\delta E_{min}\sim -\left(\frac{a_B}{R}\right)^4\text{Ry}\ .\] Точный квантовомеханический расчет дает для основного состояния, если память мне не изменяет, \[U(R)= -\frac12\alpha_E \mathcal{E}^2=-\frac94\left(\frac{a_B}{R}\right)^4\text{Ry}\,,\] где $\alpha_E$ --- статическая электрическая поляризуемость.То есть, мы получили правильную оценку.
Рассмотрим однако теперь два атома водорода на расстоянии $R\gg a_B$. Ясно, что в соответствии с нашей наивной картиной они никак не взаимодействуют. Действительно, даже если мы, в надежде найти нетривиальный минимум, вычислим дополнительную энергию при смещении электронных облаков вдоль линии, соединяющей ядра, она окажется положительной, поскольку все вклады будут квадратичны по смещениям, а два доминирующих --- положительны (проверка предоставляется читателю). Поправки за счет перекрытия электронных облаков являются, конечно, ничтожными благодаря экспоненциальному спаданию волновой функции электрона.
Однако, правильный квантовомеханический расчет дает ненулевую энергию взаимодействия \[U(R)=\frac{3ie^4}{2\pi R^6}\int d\omega \alpha_E(\omega)\alpha_E(\omega)\sim -\left(\frac{a_B}{R}\right)^6 \text{Ry}\]
Здесь $\alpha_E(\omega)$ --- то, что называется динамической электрической  поляризуемостью атома. Физический смысл этой величины очень простой: если мы поместим атом в периодическое электрическое поле с частотой $\omega=2\pi\nu$, у него появится добавка $-\alpha_E(\omega)\langle E^2\rangle/2$ к  средней энергии. Мнимая единица в формуле для $U(R)$ смущать может, но не должна. Дело в том, что, при $\hbar\omega$ равной резонансной частоте, в поляризуемости $\alpha_E(\omega)$ есть мнимые $\delta$-функционные члены, так что результирующий интеграл вещественен.
Чтобы понять происхождение сил Ван-дер-Ваальса, нам нужно отказаться от картинки статического электронного облака в пользу картинки, в которой электрон случайно блуждает вокруг ядра, посещая различные точки с вероятностью, пропорциональной $|\psi(\mathbf{r})|^2$. В этой картине так же, как и в случае статического распределения заряда, среднее электрическое поле на большом расстоянии равно нулю (точнее, экспоненциально подавлено). Однако, если мы будем вычислять квадрат электрического поля, то он уже будет спадать по медленному степенному закону:\[\langle \mathcal{E}^2\rangle\sim (e a_B)^2/R^6\,.\] То есть, в области второго атома есть флуктуирующее случайное по направлению электрическое поле,  с амплитудой $\mathcal{E}\sim e a_B/R^3$. Энергию взаимодействия второго атома с таким полем мы оцениваем как\[U(R)\sim -\alpha_E \mathcal{E}^2\sim -a_B^3(e a_B/R^3)^2\sim - \left(\frac{a_B}{R}\right)^6 \text{Ry}\,,\] то есть, получаем правильную оценку.
Следует еще сказать, что наше рассмотрение, будучи нерелятивистским, не ухватывает эффектов запаздывания электромагнитного взаимодействия, которые становятся существенными на очень больших расстояниях порядка $\hbar c/\text{Ry}$. На расстояниях, больших по сравнению с этим масштабом, $U(R)\propto R^{-7}$.
И напоследок 

Задача.Оценить потенциал взаимодействия двух атомов водорода, находящихся на расстоянии $R$, $a_B\ll R\ll \hbar c/\text{Ry}$ , один из которых находится в $1s$, а другой --- в $2s$ состояниях.

Неравенства Белла

Сегодня (на самом деле месяца три назад, когда начал писать пост) как-то случайно обнаружил себя в состоянии гугления по ключевым словам "неравенства Белла". В смысле, не помню, с чего все началось. Статья в Википедии на мое удивление никакой конкретики не содержала, да и другие результаты поиска тоже были не лучше. Тема, на мой взгляд, относится к принципиальным вопросам квантовой механики и достойна заметки. Попробую воспроизвести обсуждение вопроса, которое я пару раз представлял студентам.
Итак, пусть у нас есть частица со спином ноль, которая может распасться на две частицы со спином половинка. Допустим, что в распаде сохраняется спин, тогда спиновая часть волновой функции конечных частиц имеет вид\[\frac1{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle-|\downarrow\rangle|\uparrow\rangle\right)\]Частицы летят в противоположных направлениях и попадают в два детектора, расположенные на большом расстоянии. Оба детектора одновременно измеряют проекцию спина своей частицы на ось $z$. Эксперимент повторяется много раз.
Парадокс Эйнштейна-Розена-Подольского состоит в том, что, согласно квантовой механике, показания приборов будут стопроцентно скоррелированы: если один покажет спин вверх, то другой --- спин вниз. Кажется, что приборы успевают мгновенно обменяться информацией, что противоречит специальной теории относительности. Однако, это, конечно, иллюзия: никакой полезной информации передать таким способом нельзя. Единственное, что мы мгновенно узнаем при измерении --- это результат такого же измерения, выполненного другим таким же прибором.
Более того, скептик может объяснять такую корреляцию абсолютно классически: в каждом распаде частица распадается на одну со спином вверх и одну со спином вниз, а какая из этих частиц попадает в какой детектор определяется сложной, но классической динамикой. Ясно, что мы получим те же результаты эксперимента, что и в квантовом случае. Говоря образно, ситуация обстоит так. Есть мешок с одним белым шаром и одним черным. Два экспериментатора не глядя вытаскивают по шару из мешка и разлетаются не ракетах в разные стороны. Потом они смотрят на свои шары ;) --- и вот она, корреляция.
Хорошо, идем дальше. Пусть теперь экспериментаторы договорились в определенной последовательности чередовать измерения вдоль оси $z$ и вдоль оси $x$. Согласно квантовой механике результаты измерений при этом все-равно стопроцентно скоррелированы. Ага, значит так мы можем определить окончательно и бесповоротно, работает квантовая механика или нет. Ну, не совсем, скажет наш скептик. Просто, в классике это соответствует тому, что есть теперь два мешка, из первого мы тащим шар, соответствующий проекции $z$, а из второго --- $x$. То есть начальная частица распадается либо на пару (++)+(--), либо на пару (+-)+(-+). Здесь мы обозначили за (+-) частицу, имеющую положительную проекцию спина на ось $z$ и отрицательную --- на ось $x$ и т.д.
Рассуждая так и далее, приходим к тому, что результаты экспериментов по измерению проекции спинов частиц на произвольную (но одну на обе частицы) ось можно объяснить, предполагая, что в каждом распаде спиновое состояние частицы характеризуется функцией направления $f(\mathbf{n})$, принимающей для каждого $\mathbf{n}$ с равной вероятностью значения $\pm 1/2$. Еще, конечно, должно быть $f(\mathbf{n})=-f(-\mathbf{n})$. Физический смысл введенной функции прост: ее значение для направления $\mathbf{n}$ есть проекция спина на это направление (которую наш скептик считает определенной вне зависимости от того, измеряется она или нет). При этом функции, соответствующие разным частицам, удовлетворяют условию $f_1(\mathbf{n})=-f_2(\mathbf{n})$ (вследствие сложной, но классической динамики). Так сказать, бесконечное количество мешков, по одному на каждую ось. Ситуация, конечно, странная (внутренний угловой момент частицы характеризуется целой функцией!), но все же классическая. При этом вся функция $f$ является локальной характеристикой (тем, что называется локальными скрытыми переменными) частицы, а то, что мы в каждом эксперименте можем измерить ее значение только для одного выбранного направления скептик списывает на несовершенство наших измерительных приборов. Более того, поскольку $f_1$ и $f_2$ для одного направления жестко связаны в нашем эксперименте, тот же самый скептик считает, что вторая частица дает нам возможность измерить значение $f_1$ под другим направлением.

Теперь будем проводить измерения для разных частиц под разными направлениями. Если угол между направлениями равен $\theta$, то квантовая механика говорит, что вероятность одинакового знака измеренных проекций равна $p(\theta)=\sin^2(\theta/2)$. Это означает, что наши вытягивания шаров из мешков не являются независимыми (в противном случае было бы $p(\theta)=0.5$). А точнее, нам нужно, чтобы коррелятор имел вид\[\langle f(\mathbf{n})f(\mathbf{n}^\prime)\rangle=\mathbf{n}\mathbf{n}^\prime/4\qquad(*)\] Вопрос: возможно ли это?

Рис.1

Покажем, что это невозможно. Для этого зафиксируем четыре направления как показано на рисунке 1 и рассмотрим среднее \[\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)+f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)+f(\mathbf{n}_2)f(\mathbf{n}_3)-f(\mathbf{n}_2)f(\mathbf{n}_4)\rangle\] Чему оно может быть равно? Пусть у нас есть ансамбль частиц. Для каждой частицы реализуется одна из 16 комбинаций значений $f$ для четырех выбранных направлений: (----),(---+),...,(++++). Вероятности, с которой реализуется каждая из комбинаций обозначим, соответственно, $w_0,w_1,\ldots,w_{15}$. Тогда наше среднее равно\[ (w_0+ w_1+w_2+w_3+w_{12}+ w_{13}+w_{14}+w_{15})/2\]\[-(w_4+w_5+w_6+w_7+w_8+w_9+w_{10}+w_{11})/2 \] Поскольку все вероятности положительны и их сумма равна $1$, видно, что для любого ансамбля это среднее меньше по модулю, чем $1/2$. А вот если бы мы использовали $(*)$, получили бы $1/\sqrt{2}\gt1/2$! Вот и противоречие.
Итак, у нас в руках способ экспериментально проверить существование у частицы, вне зависимости от измерения, проекций спина на любую ось. Единственно, что нужно еще сказать, это то, что мы считаем возможным приготовление нескольких одинаковых ансамблей частиц, так, чтобы была возможность измерить сначала на первом ансамбле $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)\rangle$   ($\stackrel{def}{=}-\langle f_1(\mathbf{n}_1)f_2(\mathbf{n}_3)\rangle$  ), затем на втором $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)\rangle$   и т.д. По мне, если этого не предполагать, нужно вообще наукой перестать заниматься, т.к., фактически, отрицается воспроизводимость эксперимента.

Задачи с моралью

Задачи бывают разные: простые и сложные, интересные и не очень. Чтобы быть интересной, мне кажется, задача должна содержать некоторую мораль. То есть, при решении такой задачи должен становиться очевидным некоторый общий принцип или утверждение. Говоря образно, каждая такая задача является своеобразной хэш-функцией морали, которая в ней заключена. Вот два примера. Первый знают, видимо, все мои знакомые, а второй я придумал недавно.

1. Вычислить интеграл

\begin{equation}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2+1)^2}\end{equation}

2. Найти борновское сечение рассеяния заряженной частицы в поле статических зарядов с плотностью

\begin{equation}Ze\left[\delta^{(3)}(\mathbf{r})-2\theta(z)ae^{-a z}\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]\end{equation}

Обе задачи тривиальны и вопрос, конечно, не в том чтобы найти решение, а чтобы понять мораль. Ответом на каждую такую задачу естественно считать пример задачи, имеющей ту же мораль.

PS Да, во второй задаче частицы налетают не обязательно вдоль $z$.
PPS $a>0$, понятно.

Средняя температура по больнице

Вчера в блоге Константина Кнопа неожиданно бурное обсуждение вызвала следующая задача:

Шаровое звездное скопление состоит из 30 тыс. звезд и имеет радиус 30 световых лет. Найти среднее расстояние между звездами этого скопления.

Обсуждалась не задача, конечно, а то, насколько она по зубам школьникам 6-7 классов. Равномерное распределение звезд, насколько я понял, в задаче подразумевалось. Вопрос в том, как понимать среднее расстояние. Если это действительно среднее по всем парам звезд расстояние, то среднее расстояние вычисляется как интеграл\[(4\pi R^3/3)^{-2}\int d\mathbf{r}_1 d\mathbf{r}_2 |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|=18R/25,\]если нигде не ошибся. Такая задача, конечно, сложна для школьников.
С другой стороны, как заметила физическая часть аудитории, спрашивалось скорее среднее расстояние между парами соседних звезд. Решение, которое предлагалось - кубический корень из объема, приходящегося в среднем на одну звезду,т.е., $\sqrt[3]{4\pi R^3/3N}$, и это, конечно, вполне по силам семикласснику.Такая оценка среднего расстояния действительно встречается в физических рассуждениях на каждом шагу. По порядку величины, конечно, это правильный ответ. Вопрос, поймет ли школьник, что именно это от него требуется.
В ходе обсуждения обнаружил, что для астрофизиков "примерно" и "по порядку величины" - понятия по порядку величины примерно одинаковые.
Ну, и, ради любви к искусству, посчитаем, насколько это действительно так\[\langle r\rangle=\int d(N r^3/R^3)r\exp(-N r^3/R^3)=\Gamma[4/3]\sqrt[3]{R^3/N},\]т.е., в этом случае, ответ меньше оценки примерно в 1.8 раз.

Кумиры о КМ

Если вы думаете, что понимаете квантовую механику, значит вы её не понимаете.

— Ричард Фейнман

Самое удивительное в том, насколько все это не имеет значения. Большинство физиков использует квантовую механику в повседневной работе, не заботясь о фундаментальных проблемах ее интерпретации. Будучи здравомыслящими людьми, имеющими очень мало времени на то, чтобы успевать следить за новыми идеями и данными в своей собственной области, они совершенно не тревожатся по поводу всех этих фундаментальных проблем. Недавно Филип Канделас (с физического факультета Техасского университета) ждал вместе со мной лифт, и разговор зашел о молодом теоретике, подававшем надежды на старших курсах и затем исчезнувшем из вида. Я спросил Фила, что помешало бывшему студенту продолжать исследования. Фил грустно покачал головой и сказал: «Он попытался понять квантовую механику».

— Стивен Вайнберг, «Мечты об окончательной теории»

В научной литературе я, как и в художественной, ценю элемент сопереживания. Бывает так со мной: открываю учебник какой-нибудь по физике, читаю, мысли всякие на ум лезут. И вдруг, вижу, что и автора эти мысли не обошли, что написал он специально посвященное этим мыслям отступление, а бывает, что и окончательно и бесповоротно разобрался с вопросом. И появляется тогда у меня ощущение радости от того, что и я умный и книжку достойную читаю. Попадает эта книжка в резонанс с моим внутренним ощущением, а автор становится кумиром. Вот такой у меня ненаучный подход к научной литературе.
Но нечасто такое бывает, а чаще бывает по-другому, открываешь книжку и видишь, что хоть там все так просто и понятно написано,автор либо действительно не замечает сложных вопросов, либо просто их не в состоянии никак прояснить. Читаю я такую книжку и вспоминаю старую песенку "когда ты был мал, ты знал все что знал...", а сейчас-то ты, думаю я про автора, давно уже не знаешь, что ты по-настоящему знаешь, а что --- нет.
Хотел я тут недавно написать заметку про квантовую механику. Сейчас ведь кто уравнение Шредингера знает, тот большой специалист по квантовой механике. А все потому, что для практической деятельности таких знаний достаточно. Как сказал Ч. "пока рецепт работает, никого не волнует вопрос почему". Но мне-то за державу обидно, поэтому и хотел написать глубокомысленную статью на тему того, что такое "на самом деле" в квантовой механике. Но! Сегодня, гугля на тему измерений в КМ, наткнулся на статью из Луркморья и успокоился. В качестве эпиграфа выступали изречения двух моих кумиров, приведенные выше. Сапиенти сат. Если кто не понял, советую еще раз перечитать Фейнмановскую цитату, понимая ее буквально. Правда, Вайнберг, по-моему, не совсем точно переведен, когда найду оригинал, заменю. Кстати, к Ландау и Лившицу у меня смешанные чувства, и не в последнюю очередь из-за того, какую хрень они про процесс измерения написали. Золотое правило ведь блин, не понимаешь - не пиши.
P.S. Прочитав внимательно статью Луркморья, с удовлетворением нашел там ссылку на выражение под вопросом.

Обман студентов

Хороший преподаватель должен обманывать студентов (Некоторые, правда, обманывают, не отдавая себе в этом отчет, что имеет свои плюсы и минусы). Приведу два примера.

Все студенты, специализирующиеся в физике элементарных частиц, атомной физике и т.п., изучают релятивистские поправки $\sim v^2/c^2$ к гамильтониану, то, что называется гамильтонианом Брейта. Этот гамильтониан выводится следующим образом. Сначала вычисляется амплитуда $M_{fi}$ рассеяния двух частиц и раскладывается по параметру $v/c$. Затем эта амплитуда сравнивается с борновской амплитудой $-V_{fi}$ в нерелятивистской квантовой механике для некоторого потенциала $V$. Получается $$V_{fi}=\frac{-M_{fi}}{\sqrt{2\varepsilon'_2}\sqrt{2\varepsilon'_1}\sqrt{2\varepsilon_2}\sqrt{2\varepsilon_1}},$$ где $\varepsilon_{1,2}$ и $\varepsilon'_{1,2}$ — энергии начальных и конечных частиц. Вспоминая, что $V_{fi}$ —просто преобразование Фурье от потенциала, делаем обратное преобразование и дело в шляпе. Получили потенциал взаимодействия вместе с первой поправкой по релятивизму. Ну, еще, конечно, кинетические члены $-p_{1,2}^2/8m^3$ нужно добавить. Ну и где же здесь обман?

Чтобы сделать обратное преобразование Фурье, нам нужно, чтобы передача $\mathbf{q}$ была независимой переменной. Посчитаем число свободных параметров. $$4\times4(\text{4-импульсы начальных и конечных частиц})-4(\text{закон сохранения})-4(\text{связь} p_i^2=m_i^2)=8$$ Получили, что амплитуда на массовой поверхности имеет восемь независимых параметров. А сколько же нам надо? Девять, по три на каждый вектор $\mathbf{p}_1$, $\mathbf{p}_2$, $\mathbf{q}$. Значит, между этими векторами есть одна связь. И действительно, выражая $q_0$ двумя разными способами, получаем связь $$С=\frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}-\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}=0$$ А как же мы тогда делали преобразование Фурье...? Добавим к $V_{fi}$, например, $0=\frac{C^2}{\mathbf{q}^4}$ и получим другой потенциал.

На практике, при вычислении в кулоновской калибровке, вопроса не возникает, потому что $q_0$ в ответе не появляется, и не надо думать на что его заменять. В ковариантной калибровке уже появляется $q_0^2$ и правильная прескрипция состоит в том, чтобы заменить $$q_0^2\to \frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}\times\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}.$$ Объяснение ограничивается словами: "этот рецепт обеспечивает зануление $q_0^2$ в пределе, когда одна из частиц становится бесконечно тяжелой". Ясно, что, по сути, это обман и более правильное рассмотрение должно быть основано, например, на уравнении Бете-Солпитера. Мне лично вообще не понятно, можно ли проблему связанных состояний сформулировать строго (пост отчасти навеян прочтением недавней статьи Ефимова в архиве. В статье, на мой взгляд, содержится, как минимум, логический прокол, но мысль понятна). Но студентам это объяснение не осилить, по-крайней мере, за разумное для всего курса время. Поэтому, проще всего здесь их обмануть. Я, собственно, в свою бытность студентом и не знал что меня обманули, а понял это только когда сам с этим стал разбираться.

Второй пример касается перенормировки электромагнитного тока в КЭД. Открываем, например, Ченга&Ли и читаем (изложение вольное):

Рассмотрим трехточечную функцию Грина $$G_{\mu}(p,q)=\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\phi(y)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ и пропагатор $$\Delta(p)=\int dx\,e^{-ipx}\langle\mathrm{T}\phi(x)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ (Здесь под знаком T-упорядочивания стоят гейзенберговские операторы). Тождество Уорда — связь между этими функциями: $$-iq^{\mu}G_{\mu}(p,q)=\Delta(p+q)-\Delta(p)$$. Перенормированные функции определяются соотношениями \begin{eqnarray}G^{R}_{\mu}(p,q)&=&Z_{\phi}^{-1}Z_J^{-1}G_{\mu}(p,q)\nonumber\\\Delta^{R}(p)&=&Z_{\phi}^{-1}\Delta(p)\end{eqnarray} Подставляя в тождество Уорда, получаем $$-iq^{\mu}Z_JG^{R}_{\mu}(p,q)=\Delta^R(p+q)-\Delta^R(p)$$. Поскольку правая часть не зависит [в размерностной регуляризации] от точки вычитания, величина $Z_J$ в левой части также не должна зависеть от точки вычитания. Другими словами, сохраняющийся ток не перенормируется.

Этот пассаж сделан для теории $\phi^4$, и в этой теории вывод правилен. Но в КЭД, за исключением тривиального случая, нужно включить взаимодействие с э/м полем $A$. Вопрос: что окажется неправильным в вышеприведенном пассаже?

Неправильной оказывается молчаливо подразумевающаяся мультипликативная перенормируемость оператора $J_\mu$. На самом деле, этот оператор в результате взаимодействия смешивается с оператором $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$.

Уже в одной петле мы можем это понять. Как обычно, пишем $$\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle=\langle\mathrm{T}J_{I\mu}(x)\psi_I(y)\bar\psi_I(0)\cdot\exp\left[-ie\int dx (A_I\cdot J_I)\right]\rangle$$ Здесь индекс $I$ относится к операторам в представлении взаимодействия. Если просто заменяем экспоненту на единицу, получаем борновский м.э. Дальше мы должны разложить экспоненту до второго члена, вычислить матричный элемент в размерностной регуляризации и взять из него $1/\epsilon$ члены. Если оператор перенормируется мультипликативно, то при них должна собраться борновская структура (с коэффициентом). Спаривание операторов приводит к следующим диаграммам:

Расходящаяся часть (РЧ,члены $1/\epsilon$ в размерностной регуляризации) есть во всех четырех. РЧ первых трех диаграмм пропорциональны борновскому результату ($\propto \gamma_{\mu}$, если ампутировать внешние концы). Более того, РЧ первой диаграммы можно отнести к $Z_{\psi}$, а РЧ второй сокращается с РЧ третьей, что можно проверить прямым вычислением. Все было бы хорошо, если бы не последняя, четвертая диаграмма. РЧ этой диаграммы имеет другую структуру ($\propto \gamma^{\nu}(q_{\nu}q_{\mu}-q^2 g_{\nu\mu})$), что совпадает с борновской структурой для оператора $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$ в таком же матричном элементе $$\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}(\partial^{\nu}F_{\nu\mu})(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle\,.$$ Это и показывает смешивание операторов $J$ и $\partial F$. Кто хочет бОльших красот и строгости, смотреть статью Collins,Manohar&Wise. Опять-таки, стоит ли это обсуждать со студентами? Или пусть они лучше запомнят, что сохраняющийся ток не перенормируется? Это утверждение, хотя, как любое категорическое, и не правильное, но все-же физически важное. Так же, как и мое утверждение про обман студентов.

P.S. Мне, кстати, обман обычно не удается, и я начинаю бормотать "правильное объяснение", пытаясь уложиться в одну фразу, что понимания не прибавляет.

Принцип суперпозиции

Недавно (мм..., пока писал пост стало уже не так недавно), придя утром на работу, зацепился за одного коллегу темой о квантовой механике. Точнее, он за меня зацепился. Пока говорили, я вспомнил, что эту тему мы уже один раз обсуждали. Речь шла о процессе измерения и физическом смысле волновой функции. Как известно, последний состоит в том, что квадрат оной пропорционален вероятности обнаружить частицу в данном состоянии (в координатном представлении - в данной точке, в импульсном - с данным импульсом, и т.д.). Таким образом, этот физический смысл завязан за процесс измерения. С другой стороны, в квантовой механике вся динамика задается уравнением Шредингера, а значит процесс измерения должно также описать в рамках этой динамики. Но вот это описание, как раз, не так просто придумать. Точнее, вроде довольно очевидно, что это невозможно. На следующий день попробовал обсудить вопрос со старшим коллегой Ч., но кроме надрывания глоток во время сугубо научной дискуссии, лишь изредка переходящей на личности, никакого положительного опыта не получил.

Попробую объяснить проблему. Оставим в стороне все нюансы, связанные с релятивистской теорией поля, а будем считать, что все важные для нас моменты можно изучить на квантовой механике. В квантовой механике у нас есть уравнение Шредингера, которое прекрасно описывает динамику системы. Ну решили мы это уравнение, остается вопрос: как сравнить наше решение с экспериментом? Ответ-то мы знаем: волновая функция позволяет вычислить вероятность того или иного исхода измерения. Но этот ответ является, конечно, практически очень полезным и успешным, но все-же ни откуда не следующим рецептом, который позволяет связать наш вымышленный мир, в котором существует волновая функция, и реальный мир с его измерениями. Привыкнуть к этому рецепту очень даже можно, нет вопросов. Можно даже волновую функцию в каком-то смысле измерять: возьми набор идентичных систем и измеряй разные проекции (точнее, квадраты их модулей) в.ф., а потом по этим измерениям определяй в.ф. Но ведь прибор --- это тоже часть нашего мира, а значит, тоже подчиняется, по нашим предположениям, законам квантовой механики. Пусть прибор — некоторая сложная квантовомеханическая система. Процесс измерения состоит во включении некоторого взаимодействия прибора с наблюдаемым объектом. Последний для простоты выберем, например, прибитой гвоздями частицей со спином 1/2, а прибор хотим сконструировать так, чтобы он измерял проекцию спина на ось z. Хотим, конечно, чтобы прибор был идеальным, т.е., при состоянии частицы |↑⟩ он всегда показывал ⬆, а при |↓⟩ — ⬇. Что значит "показывал"? Это значит, что у прибора есть, например, два набора попарно ортогональных состояний ⬆={|⬆₁⟩,|⬆₂⟩,...} и ⬇={|⬇₁⟩,|⬇₂⟩,...} и в результате взаимодействия с |↑⟩ прибор переходит в состояние, являющееся линейной комбинацией состояний из первого набора, а в результате взаимодействия с |↓⟩ — в состояние, являющееся линейной комбинацией состояний из второго набора. Вообще говоря, нас устроит и если система прибор+объект после измерения будет находиться в запутанном состоянии типа α|⬆₁⟩|↑⟩+β|⬆₂⟩|↓⟩ для начального состояния |↑⟩ объекта и в состоянии типа α|⬇₁⟩|↑⟩+β|⬇₂⟩|↓⟩ для начального состояния |↓⟩ объекта. Но это дальнейших рассуждений не портит.

Возьмем теперь объект в состоянии |→⟩=(|↑⟩+|↓⟩)/√2. Что должен показывать наш прибор после измерения?  Мы хотим, чтобы он с равной вероятностью показывал ⬆ и ⬇. Когда мы говорим о вероятности, мы имеем в виду возможность различных исходов измерения в зависимости от начального состояния прибора и способа включения его взаимодействия с наблюдаемым объектом. При этом, в каждом конкретном измерении прибор показывает либо ⬆, либо ⬇, но не линейную комбинацию, на то он и классический. Так вот, принцип суперпозиции говорит нам, что такого прибора не может быть. Линейность уравнения Шредингера говорит нам, что наш прибор будет находиться как раз в смешанном состоянии, которое включает в себя и состояния из набора ⬆ и состояния из набора ⬇. Невозможность описать процесс измерения в рамках квантовой механики означает что квантовая механика не полна. А почему тогда этим вопросом никто не занимается? Или занимается?

 

Интерференция и SVG

Вчера Ваня напомнил про один вопрос из квантовой механики, с которым я когда-то разобрался.
Все знают, как борновская амплитуда рассеяния на нескольких одинаковых центрах выражается через амплитуду рассеяния на одном. А именно, появляется множитель
\[F(\vec{q})=\sum_{k=0}^{N} e^{i\vec{q}\vec{r}_k}.\]
Если центры образуют периодическую структуру, этот множитель приводит к тому, что в интерференционных максимумах сечение увеличивается в $N^2$ раз.
Допустим теперь, что мы случайно бросаем рассеивающие центры в большой ящик и после этого они остаются неподвижными. Каким будет сечение? Я в свою бытность студентом 3-его курса, пока не обдумал вопрос самостоятельно, считал, что дифференциальное сечение будет примерно равно
\[\frac{d\sigma_N}{d\Omega}\approx N\frac{d\sigma_1}{d\Omega},\]
а отклонения будут расти медленнее чем $N$ (как $\sqrt{N}$). Ниже скрипт, который поможет "экспериментально" изучить вопрос. Как можно заметить, отношение сечения на $N$ центрах к умноженному на $N$ сечению на одном и не думает стремиться к единице при $N\to\infty$. Действительно ли это так, или это артефакт моделирования?

---

$\displaystyle{\frac{d\sigma_N/d\Omega}{N d\sigma_1/d\Omega}=\left|F(q)\right|^2/N=}$?

$\lambda=\frac{2\pi}{q}=$ — расстояние между красными линиями.

---

Вообще-то, этот пост еще служит проверкой возможности включения svg в блог. Скажу честно, делается через ж... использование javascript. Правда, если хочешь интерактивности, javascript все-равно нужен. Кто будет смотреть в код, обратите внимание на функцию createSVG. Вроде, мелочь, а времени много экономит.