Клин

На прошлой неделе один обед протупил над следующим "парадоксом".

Рассмотрим матрицу \[
\Lambda_{\mathbf{p}}=\frac12\left(1+\frac{\varepsilon+\beta m}{p^2}\boldsymbol{\alpha}\mathbf{p}\right).
\] В голове не укладывались 4 утверждения, касающиеся этой матрицы:

1. $\Lambda_{\mathbf{p}}$ --- проектор, т.е. $\Lambda_{\mathbf{p}}^2=\Lambda_{\mathbf{p}}$. 
2.  $\Lambda_{\mathbf{p}}u_{\mathbf{p}}=u_{\mathbf{p}}$,  т.е., это проектор на пространство решений уравнения $[\varepsilon-\boldsymbol{\alpha}\mathbf{p}-\beta m]u_{\mathbf{p}}=0$.
3. $\Lambda_{\mathbf{p}}+\Lambda_{-\mathbf{p}}=1$, откуда следует, что $\Lambda_{\mathbf{p}}\Lambda_{-\mathbf{p}}=0$.
4. $u^{\dagger}_{\mathbf{p}}u_{\mathbf{-p}}\neq0$.

Только написав на доске понял в чем дело.

Плоская шутка

Открываем Базя, Зельдовича и Переломова и видим такую формулу

 

Помню, когда я читал эту книжку студентом, никак не мог ее понять. Ну, теперь-то я эту формулу умею выводить: берем разложение плоской волны
\[
e^{ikr\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime}}=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})
j_{l}(kr)
\]
и устремляем $r$ к бесконечности. Используем асимптотику функции Бесселя
\[
i^{l}j_{l}(kr)\stackrel{r\to\infty}{\to}
\frac{i}{2kr}\left((-1)^le^{-ikr}-e^{ikr}\right)
\]
и сумму полиномов Лежандра
\[
\sum\left( 2l+1\right) P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})=4\pi\delta(\mathbf{n}-\mathbf{n}^{\prime})
\]
(ну, и сумму с заменой $\mathbf{n}\to-\mathbf{n}$) и получаем желаемое.
Но все-же, формула выглядит подозрительно, слева стоит функция с единичным модулем,а справа что? Вопрос:где подвох.

Квантовая механика и конец арифметики

Когда я учился в университете, квантовую механику нам поначалу преподавал Ч. Как сейчас помню эти занятия где-то в начале апреля. Начал Ч. с обстоятельного (и несколько затянутого на мой вкус) объяснения того, что квантовая механика подразумевает в некотором смысле новую, неклассическую, логику. Гораздо позже я узнал, что и арифметика в квантовом мире претерпевает значительные, я бы даже сказал, фатальные изменения. Рассмотрим атом водорода в основном состоянии. В атомных единицах гамильтониан записывается как\begin{equation}H=\frac{\mathbf{p}^2}{2}-\frac{1}r=-\frac1{2r}\partial_r^2r+\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}-\frac{1}r\end{equation}Волновая функция, соответственно,\begin{equation}\langle\mathbf{r}|0\rangle=\exp(-r)/\sqrt{\pi}\end{equation}Энергия основного состояния, как известно, $E_0=-1/2$.
Теперь вычисляем матричный элемент $\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle$ двумя разными способами. Прямым дифференцированием получаем:\begin{equation}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 1}{=}4\pi\int dr\, r^2\, \frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}r^{-1}\frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}=1\end{equation}Немного алгебры дает\begin{multline}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 2}{=}\langle 0|-2(H-\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 3}{=}\langle 0|-2(H+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 4}{=}\\\langle 0|-2(E_0+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 5}{=}\langle 0|r^{-1}|0\rangle-2\langle 0|r^{-2}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 6}{=}1-4=-3\end{multline}Итак, мы получаем $1=-3$, или, перенося в одну часть,\begin{equation}4=0,\end{equation}откуда следует, что все числа равны нулю. А это и есть конец арифметики.