Формула суммирования Пуассона

Давным давно, когда был я чуть ли ещё не школьником, была у меня глупая привычка покупать научные книжки, даже если я и не очень понимал что в них написано. Одной из таких книжек (точнее, это были два тома) была монография “Упаковки шаров, решетки и группы” Конвея и Слоэна. Очень мне понравилась тогда бумага, на которой она напечатана — с одной стороны листа гладкая, а с другой — шершавая. И содержание тоже ничего было, хоть я тогда и много не понимал. И вот что меня поразило: оказывается, ко времени написания книжки не была доказана оптимальность даже гранецентрированной кубической упаковки в трёхмерье. Там, если я помню правильно, про эту оптимальность было написано как-то так: "все математики верят, а физики знают". Ещё я из этой книжки вынес, что размерности 8 и 24 --- какие-то особенные.

Так вот, оказывается, с тех пор многое изменилось. Оптимальность гранецентрированной кубической упаковки доказана в 1998 г. Томасом Халесом (Thomas Hales). А в начале этого года совсем молодая девушка-математик Марина Вязовска доказала оптимальность упаковки $\Lambda_8$ в восьмимерье (arXiv:1603.04246). И буквально через неделю вышла работа arXiv:1603.06518 с доказательством оптимальности упаковки для решётки Лича в 24-мерье, основанная на доказательстве в восьмимерье.

Работа Марины Вязовской концептуально очень ясная и опирается на ограничение на плотность упаковки сверху, полученное в работе arXiv:math/0110009. Это простое и, как оказывается, очень мощное ограничение доказывается с помощью формулы суммирования Пуассона. Если Фурье-преобразование функции $f(\boldsymbol{x})$ определить формулой $$\hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)=\int f\left(\boldsymbol{x}\right)e^{2\pi i\boldsymbol{x}\boldsymbol{t}}d\boldsymbol{x}\,,$$ то справедлива следующая формула: $$\sum_{\boldsymbol{x}\in\Lambda}f\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}\hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)\,.$$ Здесь $\Lambda$ — любая решётка в $\mathbb{R}^{n}$, $\left|\Lambda\right|$— объём её элементарной ячейки, $\Lambda^{*}$ — двойственная к $\Lambda$ решётка. Если не гнаться за строгостью, эту формулу можно доказать так: $$\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}\hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)=\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}\int f\left(\boldsymbol{x}\right)e^{2\pi i\boldsymbol{x}\boldsymbol{t}}d\boldsymbol{x}=\int f\left(\boldsymbol{x}\right)\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}e^{2\pi i\boldsymbol{x}\boldsymbol{t}}d\boldsymbol{x}=\int f\left(\boldsymbol{x}\right)\sum_{\boldsymbol{y}\in\Lambda}\delta\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right)d\boldsymbol{x}=\sum_{\boldsymbol{x}\in\Lambda}f\left(\boldsymbol{x}\right)\,.$$ Ну, естественно, чтобы формула имела смысл, нужно чтобы функция и её Фурье-образ достаточно быстро спадали на бесконечности. Если сдвинуть аргумент в правой части на $\boldsymbol{v}$, то из свойств Фурье-преобразования имеем $$\sum_{\boldsymbol{x}\in\Lambda}f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}\right)=\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}e^{-2\pi i\boldsymbol{v}\boldsymbol{t}}\hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)\,.$$ Это как раз формула (2.1) из math/0110009. Далее доказывается следующая теорема. Допустим, что мы нашли функцию $f$ со следующими свойствами $$\begin{align*} 1. & f\left(\boldsymbol{x}\right)\leqslant0\text{ для }\left|\boldsymbol{x}\right|\geqslant1\\ 2. & \hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)\geqslant0\text{ для любого }\boldsymbol{t} \end{align*}$$ Тогда центральная плотность (=число центров единичных шаров на единичный объём) периодических упаковок ограничена сверху величиной $\frac{f\left(0\right)}{2^{n}\hat{f}\left(0\right)}$. Вот такое неожиданное утверждение --- где функция, а где упаковка.
Доказательство совсем не сложное: пусть периодичность упаковки определяется решёткой $\Lambda$, причём в элементарной ячейке находится $N$ шаров. Для дальнейшего удобно считать, что радиус шаров равен $1/2$, так что расстояния между центрами любых двух не меньше единицы. Пусть расположение центров в элементарной ячейке задаётся векторами $\boldsymbol{v}_{1},\ldots,\boldsymbol{v}_{N}$. Запишем формулу суммирования Пуассона в таком виде $$\begin{equation} \sum_{j,k=1}^{N}\sum_{\boldsymbol{x}\in\Lambda}f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}_{j}-\boldsymbol{v}_{k}\right)=\sum_{j,k=1}^{N}\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}e^{-2\pi i\left(\boldsymbol{v}_{j}-\boldsymbol{v}_{k}\right)\boldsymbol{t}}\hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)=\frac{1}{\left|\Lambda\right|}\sum_{\boldsymbol{t}\in\Lambda^{*}}\left|\sum_{k=1}^{N}e^{2\pi i\boldsymbol{v}_{k}\boldsymbol{t}}\right|^{2}\hat{f}\left(\boldsymbol{t}\right)\,.\label{eq:Poisson1} \end{equation}$$ Аргумент $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}_{j}-\boldsymbol{v}_{k}$ в левой части можно рассматривать как вектор, соединяющий центры шаров в точках $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}_{j}$ и $\boldsymbol{v}_{k}$. Поэтому он может быть по модулю меньше единицы только если это один и тот же шар, т.е. $\boldsymbol{x}=0$, $j=k$. А значит, левая часть не больше $Nf\left(0\right)$. В правой части все слагаемые неотрицательны, поэтому она не меньше одного члена суммы с $\boldsymbol{t}=0$, т.е. $N^{2}\hat{f}\left(0\right)/\left|\Lambda\right|$. Поэтому получаем $$Nf\left(0\right)\geqslant N^{2}\hat{f}\left(0\right)/\left|\Lambda\right|$$ Поскольку наши шары имеют радиус $r=1/2$, центральная плотность равна $\delta=\frac{Nr^{n}}{\left|\Lambda\right|}=\frac{N}{\left|\Lambda\right|2^{n}}$ и мы имеем желаемое утверждение $$\delta\leqslant\frac{f\left(0\right)}{2^{n}\hat{f}\left(0\right)}\,.$$ А что же сделала Марина Вязовска? Она построила  для $\mathbb{R}^{8}$ такую функцию $f$, что выведенная оценка сверху оказывается совпадающей с плотностью решётки $\Lambda_8$, которая определяется как $$\begin{equation}\Lambda_8 = \left\{(x_i) ∈ \mathbb{Z}^8 \cup (\mathbb{Z}+1/2)^8 \bigg|\sum x_i = 0 (\mathrm{mod} 2)\right\}.\end{equation}$$ Ясно, что это сделать ну очень непросто: те члены сумм в обеих частях равенства $\eqref{eq:Poisson1}$, которыми мы пренебрегали для получения неравенства, должны быть равны нулю чтобы позволить точное равенство. Кстати, уже из определения решётки $\Lambda_8$ видно, чем замечательно 8-мерное пространство. Расстояние между точками решетки $(0,0,0,0,0,0,0,0)$ и $(\frac12,\frac12,\frac12,\frac12,\frac12,\frac12,\frac12,\frac12)$ равно $\sqrt{2}$, как и расстояние между $(0,0,0,0,0,0,0,0)$ и $(1,1,0,0,0,0,0,0)$. Можно посчитать контактное число: $$240=4{8 \choose 2}+2+2{8 \choose 2}+{8\choose 4}$$ Как построена требуемая функция напишу как-нибудь в другой раз.