На днях неожиданно возник вопрос про минимальность классического действия
\[
S\left[x\left(t\right)\right]=\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\dot{\boldsymbol{x}}^{2}}{2}-U\left(\boldsymbol{x}\right)\right]
\]
на классических траекториях $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}\left(t\right)$.
Как понимать сноску 2 на стр. 10 в первом томе ЛЛ " Следует,
однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия
не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь
для каждого из достаточно малых её участков..." . Что понимается
под "достаточно малыми" участками? Инфинитезимальные или
конечные? Покажем, что второе. Точнее мы докажем, что при достаточно
малых, но конечных $T$, действие является локальным минимумом в пространстве траекторий с фиксированными концами, т.е.,
строго увеличивается при малых вариациях $\boldsymbol{x}$, сохраняющих
значения $\boldsymbol{x}\left(0\right)$ и $\boldsymbol{x}\left(T\right)$.
Пусть $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}+\delta\boldsymbol{x}$, причем $\delta\boldsymbol{x}\left(0\right)=\delta\boldsymbol{x}\left(T\right)=0$, тогда имеем \[ S\left[\boldsymbol{x}\right]=S\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]+\delta S=S\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]+\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}}{2}-\frac{1}{2}\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right]\,, \] где мы опустили члены порядка $O\left(\delta x^{3}\right)$. Второй член может быть отрицательным, поэтому нам нужно доказать, что вклад первого члена больше для любых вариаций при достаточно малом $T$.
Пусть $\delta x_{max}=\left|\delta\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right|$ --- максимальное значение отклонения. Оцениваем: \[ \frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}\geqslant\left(\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|\right)^{2}\geqslant\left(\frac{1}{T}\intop_{0}^{t_{0}}dt\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}=\left(\frac{\delta x_{\mathrm{max}}}{T}\right)^{2} \] Первое неравенство стандартно доказывается из $\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left(\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|-\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|\right)^{2}\geqslant0$ раскрытием скобок. Таким образом, если мы возьмём \begin{equation}\label{Tcond} T<\frac{1}{\max\sqrt{\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|}}\,, \end{equation} то, очевидно, $\delta S>0$. Здесь \[ \left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|=\max_{\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}^{2}=1}\left|\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{\nabla}\right)^{2}U\left(x_{0}\right)\right|\,. \] Действительно, имеем \begin{align*} \delta S & =\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}}{2}-\frac{1}{2}\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right]\geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}-\intop_{0}^{T}dt\frac{1}{2}\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right|\\ & \geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}-\intop_{0}^{T}dt\frac{1}{2}\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\right|\left(\delta\boldsymbol{x}\right)^{2}\geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}\left(1-T^{2}\max\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\right|\right)>0\,. \end{align*} Тут, конечно, есть формально вопрос, по какому множеству надо брать максимум в уравнении \eqref{Tcond}. Если существует глобальный максимум, то можно взять его. Если же нет, то нужно учесть, что, когда мы будем уменьшать $T$, классическая траектория тоже будет меняться. Но она постепенно будет приближаться к прямой, соединяющей начальную и конечную точки, поэтому достаточно рассмотреть максимум по узкому цилиндру вблизи прямолинейной траектории.
Ещё удобнее при фиксированной траектории рассматривать действие на её кусках, как и предлагает ЛЛ. Ясно, что при делении траектории на всё меньшие и меньшие части $\max \left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|$ для каждой части может только уменьшаться, а интервал времени обязательно уменьшается, поэтому легко найти требуемое разбиение.
Конечно, как всегда, возможны патологические случаи, например, когда потенциал имеет излом на траектории. Однако, приведённые аргументы вполне дают представление о справедливости утверждения о минимальности классического действия и, в частности, о естественности названия "принцип наименьшего действия" в противоположность названию "принцип экстремального действия".
P.S. Кстати, если взять осциллятор, то мы увидим, что наша оценка довольно грубая --- в $\pi$ раз отличается от точной оценки. Ну, то есть уже при $T<\frac{\pi}{\omega}$ минимальность является обязательной, а у нас получилось $T<\frac1{\omega}$.
Пусть $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}+\delta\boldsymbol{x}$, причем $\delta\boldsymbol{x}\left(0\right)=\delta\boldsymbol{x}\left(T\right)=0$, тогда имеем \[ S\left[\boldsymbol{x}\right]=S\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]+\delta S=S\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]+\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}}{2}-\frac{1}{2}\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right]\,, \] где мы опустили члены порядка $O\left(\delta x^{3}\right)$. Второй член может быть отрицательным, поэтому нам нужно доказать, что вклад первого члена больше для любых вариаций при достаточно малом $T$.
Пусть $\delta x_{max}=\left|\delta\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right|$ --- максимальное значение отклонения. Оцениваем: \[ \frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}\geqslant\left(\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|\right)^{2}\geqslant\left(\frac{1}{T}\intop_{0}^{t_{0}}dt\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}=\left(\frac{\delta x_{\mathrm{max}}}{T}\right)^{2} \] Первое неравенство стандартно доказывается из $\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left(\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|-\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|\right)^{2}\geqslant0$ раскрытием скобок. Таким образом, если мы возьмём \begin{equation}\label{Tcond} T<\frac{1}{\max\sqrt{\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|}}\,, \end{equation} то, очевидно, $\delta S>0$. Здесь \[ \left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|=\max_{\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}^{2}=1}\left|\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{\nabla}\right)^{2}U\left(x_{0}\right)\right|\,. \] Действительно, имеем \begin{align*} \delta S & =\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}}{2}-\frac{1}{2}\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right]\geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}-\intop_{0}^{T}dt\frac{1}{2}\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right|\\ & \geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}-\intop_{0}^{T}dt\frac{1}{2}\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\right|\left(\delta\boldsymbol{x}\right)^{2}\geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}\left(1-T^{2}\max\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\right|\right)>0\,. \end{align*} Тут, конечно, есть формально вопрос, по какому множеству надо брать максимум в уравнении \eqref{Tcond}. Если существует глобальный максимум, то можно взять его. Если же нет, то нужно учесть, что, когда мы будем уменьшать $T$, классическая траектория тоже будет меняться. Но она постепенно будет приближаться к прямой, соединяющей начальную и конечную точки, поэтому достаточно рассмотреть максимум по узкому цилиндру вблизи прямолинейной траектории.
Ещё удобнее при фиксированной траектории рассматривать действие на её кусках, как и предлагает ЛЛ. Ясно, что при делении траектории на всё меньшие и меньшие части $\max \left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|$ для каждой части может только уменьшаться, а интервал времени обязательно уменьшается, поэтому легко найти требуемое разбиение.
Конечно, как всегда, возможны патологические случаи, например, когда потенциал имеет излом на траектории. Однако, приведённые аргументы вполне дают представление о справедливости утверждения о минимальности классического действия и, в частности, о естественности названия "принцип наименьшего действия" в противоположность названию "принцип экстремального действия".
P.S. Кстати, если взять осциллятор, то мы увидим, что наша оценка довольно грубая --- в $\pi$ раз отличается от точной оценки. Ну, то есть уже при $T<\frac{\pi}{\omega}$ минимальность является обязательной, а у нас получилось $T<\frac1{\omega}$.
