Disclaimer: Этот пост пролежал в черновиках какое-то время, но, всё-таки, достоин того, чтобы его опубликовать.
В квантовой механике одним из стандартных типов задач является такой
Найти уровни энергии в потенциале .
Однако, такие задачи довольно сильно ограниченны выбором потенциала , для которого можно найти решение. Какое-то время назад я придумал другой тип задач:
Найти число связанных состояний в потенциале с энергией меньше .
Конечно, если для выбранного потенциала решается первая задача, то решается и вторая с произвольным выбором . Но есть красивые примеры, для которых решается только вторая задача для подходящего выбора .
Интересно рассматривать потенциалы, зависящие от параметра и разбираться как меняется число состояний при изменении параметра.
Вот несколько примеров таких задач. Последняя задача особенно естественна, поскольку задаёт вопрос о полном числе связанных состояний.
Задача 1. Вычислить число состояний с отрицательной энергией в потенциале .
Понятно, что при потенциал везде положителен, и состояний с отрицательной энергией нет. Но при возрастании появляется область (см. рисунок), в которой потенциал отрицателен, а значит, могут появится и состояния. Фактически, задача состоит в том, чтобы определить при каких есть уровень с нулевой энергией. При переходе через эти значения как раз и изменяется число .
Задача 2. Вычислить число состояний с отрицательной энергией в потенциале .
Задача 3. Вычислить число связанных состояний в потенциале
.