Объять необъятное

Вот есть такое тождество для $0\leqslant z\leqslant 1$: $$_2F_1\left(\tfrac13, \tfrac23; 1; \tfrac{27 (-1 + z^2)^2}{(3 + z^2)^3}\right)=\frac{\left(z^2+3\right) }{\sqrt{(3-z)^3 (z+1)}}\,_2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;\tfrac{(1-z) (z+3)^3}{(3-z)^3 (z+1)}\right)$$ Я даже, если очень захочется, смогу его доказать, наверное. Но вот откуда такие монстры берутся, и как их находить, я совершенно не представляю. И если об этом думать, по-моему, можно мозг сломать. Особенно страшно становится, если записать тождество в виде $$_2F_1\left(\tfrac13, \tfrac23; 1; x\right)=t\,_2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;y\right)$$ и выяснить, что $y$ и $t$ связаны с $x$ вот такими алгебраическими уравнениями: $$\begin{gather}256 x^4 y^6-768 x^4 y^5+1536 x^4 y^4-1792 x^4 y^3+1536 x^4 y^2-768 x^4 y+256 x^4-768 x^3 y^6+2304 x^3 y^5+9216 x^3 y^4\nonumber\\-22272 x^3 y^3+9216 x^3 y^2+2304 x^3 y-768 x^3+768 x^2 y^6-2304 x^2 y^5+9792 x^2 y^4-15744 x^2 y^3+9792 x^2 y^2\nonumber\\-2304 x^2 y+768 x^2-256 x y^6+768 x y^5-888 x y^4+496 x y^3-888 x y^2+768 x y-256 x+27 y^4-54 y^3+27 y^2=0\end{gather}$$ $$\begin{equation}256 t^{12} x^4-768 t^{12} x^3+768 t^{12} x^2-256 t^{12} x+1728 t^8 x^2+432 t^8 x+27 t^8-432 t^4 x-54 t^4+27=0\end{equation}$$