Все знают, как борновская амплитуда рассеяния на нескольких одинаковых центрах выражается через амплитуду рассеяния на одном. А именно, появляется множитель
\[F(\vec{q})=\sum_{k=0}^{N} e^{i\vec{q}\vec{r}_k}.\]
Если центры образуют периодическую структуру, этот множитель приводит к тому, что в интерференционных максимумах сечение увеличивается в $N^2$ раз.
Допустим теперь, что мы случайно бросаем рассеивающие центры в большой ящик и после этого они остаются неподвижными. Каким будет сечение? Я в свою бытность студентом 3-его курса, пока не обдумал вопрос самостоятельно, считал, что дифференциальное сечение будет примерно равно
\[\frac{d\sigma_N}{d\Omega}\approx N\frac{d\sigma_1}{d\Omega},\]
а отклонения будут расти медленнее чем $N$ (как $\sqrt{N}$). Ниже скрипт, который поможет "экспериментально" изучить вопрос. Как можно заметить, отношение сечения на $N$ центрах к умноженному на $N$ сечению на одном и не думает стремиться к единице при $N\to\infty$. Действительно ли это так, или это артефакт моделирования?
$\displaystyle{\frac{d\sigma_N/d\Omega}{N d\sigma_1/d\Omega}=\left|F(q)\right|^2/N=}$?
$\lambda=\frac{2\pi}{q}=$ — расстояние между красными линиями.
Вообще-то, этот пост еще служит проверкой возможности включения svg в блог. Скажу честно, делается через
Рома, вообще в такой задаче рассеяния есть по крайней мере три масштаба: длина волны, размер системы и характерное расстояние между рассеивающими центрами (есть еще величина сечения, т.е. длина рассеяния). Интуитивно кажется, что если длина волны меньше размера системы, но много больше расстояния между центрами, то сечение с N вообще не будет расти. Если длина волны много больше размеров системы, то сечение должно расти квадратично. Характерный пример -- это томпсоновское сечение, а не только "в интерференционных максимумах" на периодической структуре. Ты, конечно, имел ввиду какой-то совершенно определенный предел, а не только N к бесконечности.
ОтветитьУдалитьТеперь по сабжу. Или я туплю или все просто. Допустим, что в том пределе, который ты имел ввиду, мы все время складываем много экспонент с большими случайными фазами. В комплексной плоскости получается случайное двумерное блуждание, где величина сечения это квадрат расстояние до нуля. Если мы возьмем гауссов пакет, то на больших временах он так и останется гауссовым, но только дисперсия $\sigma=\langle r^{2}\rangle$ (сечение) будет расти линейно со временем. Поскольку никакого другого масштаба в задаче нет, то все остальные моменты будут тоже выражаться через $sigma$. Например, $\langle (r^{2}-\sigma)^2\rangle^{1/2}=\sqrt{2}\sigma$, т.е. все выражается через $\sigma$ которая линейно растет.
Кстати, генератор случайных чисел похоже тупит. Я как не пытался, не получилось заполнить кружок до полной черноты.
Не, конечно имеется в виду, что размер системы много больше длины волны. Насчет гаусса я согласен, только для $|F|^2$ это означает просто экспоненциальное распределение $dW(|F|^2)=\exp(-|F|^2/N)d(|F|^2/N)$. А я, когда с вопросом разбирался, сделал по-другому: вычислял дисперсию $\langle(|F|^2-N)^2\rangle$.
ОтветитьУдалитьА смысл примера в том, что про аморф обычно приборматываются слова "интерференция вымирает и поэтому полное сечение есть сумма сечений на каждом центре", а на самом деле интерференция живет.