Квантовая механика и конец арифметики

Когда я учился в университете, квантовую механику нам поначалу преподавал Ч. Как сейчас помню эти занятия где-то в начале апреля. Начал Ч. с обстоятельного (и несколько затянутого на мой вкус) объяснения того, что квантовая механика подразумевает в некотором смысле новую, неклассическую, логику. Гораздо позже я узнал, что и арифметика в квантовом мире претерпевает значительные, я бы даже сказал, фатальные изменения. Рассмотрим атом водорода в основном состоянии. В атомных единицах гамильтониан записывается как $$\begin{equation}H=\frac{\mathbf{p}^2}{2}-\frac{1}r=-\frac1{2r}\partial_r^2r+\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}-\frac{1}r\end{equation}$$ Волновая функция, соответственно, $$\begin{equation}\langle\mathbf{r}|0\rangle=\exp(-r)/\sqrt{\pi}\end{equation}$$ Энергия основного состояния, как известно, $E_0=-1/2$.
Теперь вычисляем матричный элемент $\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle$ двумя разными способами. Прямым дифференцированием получаем: $$\begin{equation}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 1}{=}4\pi\int dr\, r^2\, \frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}r^{-1}\frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}=1\end{equation}$$ Немного алгебры дает $$\begin{multline}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 2}{=}\langle 0|-2(H-\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 3}{=}\langle 0|-2(H+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 4}{=}\\\langle 0|-2(E_0+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 5}{=}\langle 0|r^{-1}|0\rangle-2\langle 0|r^{-2}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 6}{=}1-4=-3\end{multline}$$ Итак, мы получаем $1=-3$, или, перенося в одну часть, $$\begin{equation}4=0,\end{equation}$$ откуда следует, что все числа равны нулю. А это и есть конец арифметики.

Как физики берут интегралы

Всех нас учили в университете брать интегралы. И конечно, на первом курсе объясняли нам что такое собственные и несобственные интегралы. Но где-то курсе на третьем научили нас плохому: брать интегралы как физики. Типичный пример, например, такой интеграл: $$\begin{equation}I=\int_0^\infty \exp(ipx)\, dx\end{equation}$$ Как физик берет этот интеграл? Регуляризует спадающей экспонентой, берет интеграл, а затем снимает регуляризацию (Извиняюсь за банальные формулы): $$\begin{equation}I\stackrel{?}{=}\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty \exp(ipx-\epsilon x)\, dx=i/p\end{equation}$$ Ну все же брали так, правда? Однако, не нужно лишних иллюзий относительно обоснованности подобного подхода. Дело в том, что можно предъявить регуляризации, которые будут давать другой результат. Вот например $$\begin{equation}I\stackrel{?}{=}\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty (1+\frac{\epsilon}{p} \sin px)\exp(ipx-\epsilon x)\, dx=3i/2p\end{equation}$$ В этом месте физики любят обсудить вопрос: а как же правильно, по-первому или по-второму? Физическая интуиция подсказывает, что первый способ более правильный, чем второй. "Что это ты за синус воткнул, специально, подлец, подбирал" - скажет вдумчивый читатель. Однако, никаких рациональных причин в пользу выбора первого способа регуляризации предъявить не удается, по той причине, что вопрос смысла не имеет.
Что я хочу сказать, это еще одну банальность: если вы изначально имели плохо определенный интеграл, то далее, по-разному его доопределяя, можно получить все что хочешь. Пост этот написан как размышление на тему Гришиной мечты. Рассмотрим по этому поводу такой интеграл $$\begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }\end{equation}$$ Ну что проще его посчитать так: $$\begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }=\epsilon ^{-1}\int_{0}^{1}dx\,\,x^{-1-\epsilon }\left( 1-x\right) ^{\epsilon }=\epsilon ^{-1}\Gamma \left[ -\epsilon ,1+\epsilon \right] =\Gamma \left[ -\epsilon ,\epsilon \right]?\end{equation}$$ Но ведь этот интеграл не был определен ни при каких $\epsilon$. Так что наша прескрипция - всего лишь прескрипция. Физики верят, что этот ответ --- "правильный", но рассмотрим такую, казалось бы, совсем непатологическую регуляризацию: $$\begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }=\lim_{\delta\to +0}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }\left( xy\right) ^{\delta }\left( x+y\right) ^{2\alpha \delta }\end{equation}$$ Здесь $\alpha>0$ --- фиксированное число (например, $\alpha=2$). Ну этот интеграл сходится на промежутке $-\delta<\epsilon<\delta$, а для остальных $\epsilon$ определяется аналитическим продолжением: $$\begin{equation}\int_{0}^{1}dx\,\int_{0}^{1-x}dy\,x^{-1-\epsilon }y^{-1+\epsilon }\left( xy\right) ^{\delta }\left( x+y\right) ^{2\alpha \delta }=\frac{\Gamma \left[ \delta -\epsilon ,\delta +\epsilon \right] }{\left( 1+\alpha \right) \Gamma \left[ 1+2\delta \right] }\to\frac{\Gamma \left[ -\epsilon ,\epsilon \right]}{\left( 1+\alpha \right)}\end{equation}$$ Ответ-то другой получился. И что же тут скажешь?
Скажу напоследок, что и сам я такой, беру интегралы как бог на душу положит. Но надеюсь всегда, а если это просто - то и проверяю, что начинал я с хорошо определенной величины, что регуляризовывал я ее только для удобства и что, если и ошибся, никто никогда мою ошибку не найдет.