Квантовая механика и конец арифметики

Когда я учился в университете, квантовую механику нам поначалу преподавал Ч. Как сейчас помню эти занятия где-то в начале апреля. Начал Ч. с обстоятельного (и несколько затянутого на мой вкус) объяснения того, что квантовая механика подразумевает в некотором смысле новую, неклассическую, логику. Гораздо позже я узнал, что и арифметика в квантовом мире претерпевает значительные, я бы даже сказал, фатальные изменения. Рассмотрим атом водорода в основном состоянии. В атомных единицах гамильтониан записывается как\begin{equation}H=\frac{\mathbf{p}^2}{2}-\frac{1}r=-\frac1{2r}\partial_r^2r+\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}-\frac{1}r\end{equation}Волновая функция, соответственно,\begin{equation}\langle\mathbf{r}|0\rangle=\exp(-r)/\sqrt{\pi}\end{equation}Энергия основного состояния, как известно, $E_0=-1/2$.
Теперь вычисляем матричный элемент $\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle$ двумя разными способами. Прямым дифференцированием получаем:\begin{equation}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 1}{=}4\pi\int dr\, r^2\, \frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}r^{-1}\frac{\exp(-r)}{\sqrt{\pi}}=1\end{equation}Немного алгебры дает\begin{multline}\langle 0|r^{-1}\partial_r^2|0\rangle\stackrel{\scriptsize 2}{=}\langle 0|-2(H-\frac{\mathbf{l}^2}{2r^2}+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 3}{=}\langle 0|-2(H+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 4}{=}\\\langle 0|-2(E_0+r^{-1})r^{-1}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 5}{=}\langle 0|r^{-1}|0\rangle-2\langle 0|r^{-2}|0\rangle\stackrel{\scriptsize 6}{=}1-4=-3\end{multline}Итак, мы получаем $1=-3$, или, перенося в одну часть,\begin{equation}4=0,\end{equation}откуда следует, что все числа равны нулю. А это и есть конец арифметики.