Задачи с моралью

Задачи бывают разные: простые и сложные, интересные и не очень. Чтобы быть интересной, мне кажется, задача должна содержать некоторую мораль. То есть, при решении такой задачи должен становиться очевидным некоторый общий принцип или утверждение. Говоря образно, каждая такая задача является своеобразной хэш-функцией морали, которая в ней заключена. Вот два примера. Первый знают, видимо, все мои знакомые, а второй я придумал недавно.

1. Вычислить интеграл

\begin{equation}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2+1)^2}\end{equation}

2. Найти борновское сечение рассеяния заряженной частицы в поле статических зарядов с плотностью

\begin{equation}Ze\left[\delta^{(3)}(\mathbf{r})-2\theta(z)ae^{-a z}\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]\end{equation}

Обе задачи тривиальны и вопрос, конечно, не в том чтобы найти решение, а чтобы понять мораль. Ответом на каждую такую задачу естественно считать пример задачи, имеющей ту же мораль.

PS Да, во второй задаче частицы налетают не обязательно вдоль $z$.
PPS $a>0$, понятно.

Ступор

Есть у меня такое свойство: когда нужно делать много дел сразу, не делаю ни одного. Вот и сейчас, дел куча: на одну статью пришла рецензия с замечаниями, соавтор прислал драфт новой статьи, нужно вписать свой кусок в отчет по гранту и идти в банк за кредитом. А я что? Сижу и решаю задачки на Диофант.ру. Началось все с того, что утром, проснувшись раньше будильника, я вспомнил задачку, которую в девятом классе не решил на союзной олимпиаде, и решил в уме пока ждал звонка будильника. Странно, неужели я тогда такой глупый был? Или мне по-тупому времени не хватило, не помню. Задача такая:

Есть гора, нарисованная на плоскости. Два альпиниста находятся у подножия с разных сторон и начинают двигаться так, чтобы всегда находиться на одной высоте друг с другом. Задача каждого --- перебраться на другую сторону. Нужно доказать, что это возможно при любой форме горы (пиков может быть несколько, но любая точка горы, конечно, находится выше подножия, на то она и гора).

PS В качестве иллюстрации см. счетчик в правой панели.