Я задумал преобразование

"Работа содержит много правильных и новых утверждений. Вызывает сожаление лишь тот факт, что эти два множества не пересекаются."

Отзыв рецензента на статью.

Завел на свою голову такой принцип: не публиковать ничего, что было бы абсолютно бесполезно. Я имею в виду, в основном, написание вкладов в труды конференции. Поэтому последнюю неделю вымучивал из себя такой вклад, чтобы он имел хоть какую-то ценность. Вчера наконец-то закончил, поэтому можно вздохнуть спокойно и что-нибудь выдумать.
Недавно мы с Ваней при обсуждении навязшей задачи обнаружили чудной полный набор функций и я уже даже загордился, хотя и подозревал, что математики не могли такое проглядеть. Так оно и оказалось, утешаю себя тем, что мы с Ваней оказались в хорошей компании. Итак, задача:

У меня есть полный набор вещественных функций $\psi_a(x)$ на всей вещественной оси. Они удовлетворяют условию ортонормированности\[\int dx\psi_a(x)\psi_b(x)=\delta(a-b)\] и полноты \[\int da\psi_a(x)\psi_a(y)=\delta(x-y).\]Разложение по этому набору определяет некоторое преобразование $\mathcal{P}$ для непрерывных спадающих на бесконечности функций:\[\mathcal{P}[f(x)](a)=\int dx\psi_a(x)f(x).\] Вот два факта: \[\mathcal{P}[f(x-x_0)](a)=\mathcal{P}[f(x)](a-x_0)\]\[\mathcal{P}[\frac{x}{x^2+1}](a)=\frac1{1+a^2}\] Вопрос: что это за набор?

Зачет по предъявлению образа какой-нибудь функции.