Клин

На прошлой неделе один обед протупил над следующим "парадоксом".

Рассмотрим матрицу $$\Lambda_{\mathbf{p}}=\frac12\left(1+\frac{\varepsilon+\beta m}{p^2}\boldsymbol{\alpha}\mathbf{p}\right).$$ В голове не укладывались 4 утверждения, касающиеся этой матрицы:

1. $\Lambda_{\mathbf{p}}$ --- проектор, т.е. $\Lambda_{\mathbf{p}}^2=\Lambda_{\mathbf{p}}$. 
2.  $\Lambda_{\mathbf{p}}u_{\mathbf{p}}=u_{\mathbf{p}}$,  т.е., это проектор на пространство решений уравнения $[\varepsilon-\boldsymbol{\alpha}\mathbf{p}-\beta m]u_{\mathbf{p}}=0$.
3. $\Lambda_{\mathbf{p}}+\Lambda_{-\mathbf{p}}=1$, откуда следует, что $\Lambda_{\mathbf{p}}\Lambda_{-\mathbf{p}}=0$.
4. $u^{\dagger}_{\mathbf{p}}u_{\mathbf{-p}}\neq0$.

Только написав на доске понял в чем дело.