Это продолжение предыдущего поста. Вот его краткое содержание. Рассматривая
гамильтониан частицы в поле соленоида
Радиальное уравнение выглядит так
В случаях и функция ведет себя при похабно --- как , что нас, конечно, не устраивает. Найдем второе решение, имеющее в нуле правильную асимптотику. Ищем его методом вариации постоянных
Теперь определим поведение коэффициента при :
Резюмируя, можно сказать, что аномальное поведение радиальной волновой функции в пределе наблюдается только в случае , т.е., при . В случаях же и состояние не зануляется действием операторов .
мы заметили, что при его можно записать в виде ,
где и
--- антикоммутирующие операторы.
Радиальное уравнение выглядит так
Функция зависит от распределения поля в соленоиде
и обладает свойствами
Благодаря суперсимметрии, нам удалось найти одно из решений этого
уравнения в пренебрежении правой частью (т.е., при ):
Тут следует заметить, что интеграл в экспоненте расходится на нижнем
пределе если только . Поэтому лучше писать, скажем, так
Далее есть четыре различных случая
В случаях и функция
ведет себя при как , как и следует,
конечно. При этом в случае при мы получаем
аномальное поведение , за которым мы, собственно,
и охотились.
В случаях и функция ведет себя при похабно --- как , что нас, конечно, не устраивает. Найдем второе решение, имеющее в нуле правильную асимптотику. Ищем его методом вариации постоянных
Для функции имеем уравнение
Считая выполненным условие , получаем
Легко определить зависимость коэффициента при : интеграл
в показателе экспоненты равен ,
поэтому .
Соответственно, ,
как и следует.
Теперь определим поведение коэффициента при :
Учитывая, что
получаем, что нужное нам решение для обоих
случаев и при ведет
себя как .
Резюмируя, можно сказать, что аномальное поведение радиальной волновой функции в пределе наблюдается только в случае , т.е., при . В случаях же и состояние не зануляется действием операторов .