Эффект Ааронова-Бома и суперсимметрия (продолжение)

Это продолжение предыдущего поста. Вот его краткое содержание. Рассматривая гамильтониан частицы в поле соленоида \[ \mathrm{H}=\frac{\boldsymbol{\pi}^{2}}{2m}-\mu\sigma_{z}H_{z}, \] мы заметили, что при $g=4\mu m/e=2$ его можно записать в виде $\mathrm{H}=2Q_{1}^{2}=2Q_{2}^{2}$, где $Q_{1}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}/2\sqrt{m}$ и $Q_{2}=-i\sigma_{z}Q_{1}$ --- антикоммутирующие операторы.
Радиальное уравнение выглядит так \begin{equation} -P^{\prime\prime}\left(\rho\right)-\frac{1}{\rho}P^{\prime}\left(\rho\right)+\left(\frac{W\left(\rho\right)^{2}}{\rho^{2}}+\frac{\sigma}{\rho}W^{\prime}\left(\rho\right)\right)P\left(\rho\right)=k^{2}P\left(\rho\right)\label{eq:Pequation-2} \end{equation} Функция $W\left(\rho\right)$ зависит от распределения поля в соленоиде и обладает свойствами \[ W\left(0\right)=M,\quad W\left(\rho>R\right)=W=M-\Phi/\Phi_{0}\,. \] Благодаря суперсимметрии, нам удалось найти одно из решений этого уравнения в пренебрежении правой частью (т.е., при $\rho\ll1/k$): \begin{equation} P_{1}\left(\rho\right)=\exp\left[\sigma\int_{0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\label{eq:sol} \end{equation} Тут следует заметить, что интеграл в экспоненте расходится на нижнем пределе если только $M\neq0$. Поэтому лучше писать, скажем, так \begin{equation} P_{1}\left(\rho\right)=\exp\left[\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\label{eq:sol-2} \end{equation} Далее есть четыре различных случая \begin{align*} \mathrm{I}. & \sigma M\geq0\&\sigma W>0,\\ \mathrm{II}. & \sigma M\geq0\&\sigma W<0,\\ \mathrm{III}. & \sigma M<0\&\sigma W>0,\\ \mathrm{IV}. & \sigma M<0\&\sigma W<0. \end{align*} В случаях $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$ функция $P_{1}\left(\rho\right)$ ведет себя при $\rho\to0$ как $\rho^{\left|M\right|}$, как и следует, конечно. При этом в случае $\mathrm{II}$ при $\rho>R$ мы получаем аномальное поведение $\rho^{-\left|W\right|}$, за которым мы, собственно, и охотились.
В случаях $\mathrm{III}$ и $\mathrm{IV}$ функция $P_{1}\left(\rho\right)$ ведет себя при $\rho\to0$ похабно --- как $\rho^{-\left|M\right|}$, что нас, конечно, не устраивает. Найдем второе решение, имеющее в нуле правильную асимптотику. Ищем его методом вариации постоянных \begin{equation} P_{2}\left(\rho\right)=C\left(\rho\right)P_{1}\left(\rho\right)\label{eq:sol-1} \end{equation}  Для функции $C\left(\rho\right)$ имеем уравнение \begin{equation} C^{\prime\prime}\left(\rho\right)+2C^{\prime}\left(\rho\right)\frac{\sigma}{\rho}W\left(\rho\right)+\frac{1}{\rho}C^{\prime}\left(\rho\right)=0\label{eq:Pequation-2-1} \end{equation} Считая выполненным условие $\sigma M<0$, получаем \begin{align*} C^{\prime}\left(\rho\right) & =\frac{1}{R}\exp\left[-\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}\left(2\sigma W\left(\rho\right)+1\right)\right]=\frac{1}{\rho}\exp\left[-2\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\\ C\left(\rho\right) & =\int_{0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}\exp\left[-2\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right] \end{align*} Легко определить зависимость коэффициента $C$ при $\rho\to0$: интеграл в показателе экспоненты равен $-2\sigma M\ln\rho+\mathrm{const}$, поэтому $C\left(\rho\right)\sim\rho^{-2\sigma M}=\rho^{2\left|M\right|}$. Соответственно, $P_{2}\left(\rho\right)\sim\rho^{\left|M\right|}$, как и следует.
Теперь определим поведение коэффициента $C$ при $\rho>R$: \begin{align*} C & =\int_{0}^{R}\frac{d\rho}{\rho}\exp\left[-2\sigma\int_{R}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\right]+\frac{1}{2\sigma W}\left(1-\left(\frac{\rho}{R}\right)^{-2\sigma W}\right)\\  & \sim\begin{cases} \rho^{0} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{III}\\ \rho^{2\left|W\right|} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{IV} \end{cases} \end{align*} Учитывая, что \[ P_{1}\left(\rho\right)\sim\rho^{\sigma W}=\begin{cases} \rho^{\left|W\right|} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{III}\\ \rho^{-\left|W\right|} & \text{при }R\ll\rho\ll1/k\text{ для случая }\mathrm{IV} \end{cases}, \] получаем, что нужное нам решение $P_{2}\left(\rho\right)$ для обоих случаев $\mathrm{III}$ и $\mathrm{IV}$ при $R\ll\rho\ll1/k$ ведет себя как $\rho^{\left|W\right|}$.
Резюмируя, можно сказать, что аномальное поведение радиальной волновой функции в пределе $R\to0$ наблюдается только в случае $\mathrm{II}$, т.е., при $\sigma M\geq0\&\sigma W<0$. В случаях же $\mathrm{III}$ и $\mathrm{IV}$ состояние не зануляется действием операторов $Q_{1,2}$.

Эффект Ааронова-Бома и суперсимметрия

Рассмотрим нерелятивистскую частицу в поле соленоида. Гамильтониан Паули выглядит так:\[ \mathrm{H}=\frac{\boldsymbol{\pi}^{2}}{2m}-\mu\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{H}, \]Здесь $\boldsymbol{\pi}=\mathbf{p}-e\mathbf{A}$ --- удлиненный импульс. Поле точечного соленоида имеет вид\[ \mathbf{A}=\frac{\Phi}{2\pi}\frac{\mathbf{e}_{z}\times\mathbf{r}}{\rho^{2}}. \]Зависимость волновой функции от $z$ тривиальна и далее мы соответствующую часть гамильтониана не рассматриваем. В частности, мы считаем далее, что $\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)$. Переменные разделяются в координатах $\rho,\phi$ и, если искать решение в виде $\psi=e^{iM\phi}P\left(\rho\right)$, получим на функцию $P\left(\rho\right)$ уравнение\begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}+\left(k^{2}-\frac{\left(M-\Phi/\Phi_{0}\right)^{2}}{\rho^{2}}\right)P=0\label{eq:Pequation} \end{equation}Здесь $\Phi_{0}=\frac{2\pi\hbar c}{e}$ --- квант магнитного потока. Поскольку магнитное поле отсутствует во всей области $\rho>0$, это уравнение имеет одинаковый вид для частицы с любым спином. Будем считать, что $W=M-\Phi/\Phi_{0}$ не является целям числом. Решения уравнения (\ref{eq:Pequation}) очевидны --- функции Бесселя порядка $\pm\left|W\right|$. При $\rho\to0$ функция Бесселя с отрицательным индексом стремится к бесконечности, поэтому выбираем решение, имеющее приличную асимптотику в нуле: \[ P\left(\rho\right)\propto J_{\left|W\right|}\left(k\rho\right)\,. \]Здесь читателю предлагается подумать первый раз. Все правильно?

Разберемся. Понятно, что бесконечно тонкий соленоид означает предел соленоида конечного радиуса $R$ при $R\to0$. Или даже не предел, а просто ситуацию, когда $kR\ll1$. Рассмотрим эту ситуацию подробно. Для соленоида конечного радиуса имеем \[ \mathbf{A}=\frac{\Phi}{2\pi}\frac{\mathbf{e}_{z}\times\mathbf{r}}{\rho^{2}}f\left(\rho/R\right), \] где функция $f\left(x\right)$ стремится к нулю при $x\to0$ и равна единице при $x\geq 1$. Например, для случая однородного поля внутри соленоида эта функция равна $f\left(x\right)=\min\left(1,x^{2}\right)$. В общем случае магнитное поле внутри соленоида выражается через производную этой функции:\[ H\left(\rho\right)=\frac{\Phi f^{\prime}\left(\rho/R\right)}{2\pi\rho R} \] Соответственно, уравнение на $P\left(\rho\right)$ имеет вид\begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}+\left(k_{\perp}^{2}-\frac{\left(M-\frac{\Phi}{\Phi_{0}}f\left(\rho/R\right)\right)^{2}}{\rho^{2}}+\sigma\frac{g}{2}\frac{\Phi}{\Phi_{0}}\frac{f^{\prime}\left(\rho/R\right)}{\rho R}\right)P=0\label{eq:Pequation1} \end{equation}Здесь $\sigma=\pm1$ для спина вверх/вниз, $g=4m\mu/e$. Если частица бесспиновая, можно положить $g=0$. Поскольку $kR\ll1$, анализ проводится абсолютно аналогично анализу медленных частиц в § 132 3-его тома Ландау&Лифшица. На расстояниях больше радиуса соленоида, но много меньше $1/k$ уравнение имеет вид\begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}-\frac{W^{2}}{\rho^{2}}P=0\label{eq:Pequation2} \end{equation}Общее решение --- комбинация степеней, которую мы запишем для удобства как\begin{equation} c_{1}\left(\rho/R\right)^{\left|W\right|}+c_{2}\left(\rho/R\right)^{-\left|W\right|}\label{eq:rhollR} \end{equation}Коэффициенты $c_{1,2}$ не зависят от $k$ и определяются граничными условиями в нуле. Из соображений размерности сразу очевидно, что, с точностью до общей нормировки, они не зависят и от $R$. Волновая функция при произвольных $\rho>R$ является линейной комбинацией $J_{\pm\left|W\right|}$ с коэффициентами, которые, используя асимптотику функций Бесселя, легко выразить через $c_{1,2}$:\[ P\left(\rho\right)=c_{1}\Gamma\left(\left|W\right|+1\right)\left(kR/2\right)^{-\left|W\right|}J_{\left|W\right|}\left(k\rho\right)+c_{2}\Gamma\left(-\left|W\right|+1\right)\left(kR/2\right)^{\left|W\right|}J_{-\left|W\right|}\left(k\rho\right) \]Ну вот теперь в этой формуле мы можем перейти к пределу $R\to0$. В этом пределе первый член доминирует над вторым и, да, мы получаем\[ P\left(\rho\right)\propto J_{\left|W\right|}\left(k\rho\right)\,. \]Здесь читателю предлагается подумать второй раз. Все правильно?

Нет, не совсем. Это рассуждение годится, когда $c_{1}\neq0$. А вот если $g=2$ может получиться как раз $c_{1}=0$! Чтобы это доказать, обозначим $W\left(\rho\right)=M-\frac{\Phi}{\Phi_{0}}f\left(\rho/R\right)$. Тогда во всей области $\rho\ll 1/k$ мы имеем \begin{equation} P^{\prime\prime}+\frac{1}{\rho}P^{\prime}-\left(\frac{W^{2}}{\rho^{2}}+\frac{\sigma}{\rho}W^{\prime}\right)P=0\label{eq:Pequation3} \end{equation}Подстановкой легко проверить, что у этого уравнения есть решение\begin{equation} P\left(\rho\right)=\exp\left[\sigma\int_{0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]\label{eq:sol} \end{equation}Учитывая, что при $\rho>R$ величина $W\left(\rho\right)=W$ не меняется, получаем\[ P\left(\rho>R\right)=C\left(\frac{\rho}{R}\right)^{\sigma W}, \]где $C=\exp\left[\sigma\int_{0}^{R}\frac{d\rho}{\rho}W\left(\rho\right)\right]$. Таким образом, когда $\mathrm{sgn}W=-\sigma$, мы получаем чудо: для любой функции $f\left(x\right)$ коэффициент $c_{1}$ в (\ref{eq:rhollR}) строго зануляется. Конечно, хотелось бы понять, откуда такое чудо взялось. Вспоминаем, что при $g=2$ гамильтониан Паули можно записать в виде\[ \mathrm{H}=\frac{\left[\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}\right]^{2}}{2m}\,. \]Введем операторы \[ Q_{1}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}/2\sqrt{m},\quad Q_{2}=-i\sigma_{3}Q_{1}\,. \]Напомню, что жирные символами мы обозначаем двумерные вектора в плоскости $xy$. Легко сообразить, что\[ \left\{ Q_{i},Q_{j}\right\} =\delta_{ij}\mathrm{H}. \] А что это за соотношение? Правильно, это самый простейший пример суперсимметричной алгебры. Нам, правда, хотелось бы сразу увидеть суперсимметрию в радиальном гамильтониане. Но тут есть проблемы. Дело в том, что хотя сам гамильтониан коммутирует с $l_{z}=-i\partial_{\varphi}$, операторы $Q_{1,2}$ --- уже нет. Поэтому определить операторы сразу для радиального уравнения не удается. Тем не менее, выбрасывая $k^{2}$ из уравнения, мы, фактически, получаем уравнение на состояние с энергией, равной нулю. Поскольку гамильтониан выражается через квадрат эрмитова оператора, это состояние, если существует, является основным и может быть найдено из уравнения $Q_{1}\psi=0$ или $Q_{2}\psi=0$. Если мы будем искать решение в виде собственной функции операторов $l_{z}$ и $\sigma_{z}$, как $\psi=e^{iM\varphi}\phi_{\sigma}P\left(\rho\right)$, то как раз получим (\ref{eq:sol}). Итак, подытожим.
Почти для любого $\mu$ наша прескрипция выбирать в качестве решения радиального уравнения функцию $J_{\left|W\right|}\left(kr\right)$ является правильной. Исключение составляет случай, когда $\mu=\mu_{B}=e/2m$ (или $\mu=-\mu_{B}$). Причиной такого необычного исключения можно считать суперсимметрию гамильтониана для этого случая. Для этих случаев мы должны выбирать $J_{-\sigma\left|W\right|}\left(kr\right)$. Замечательно этот исключительный случай как раз соответствует нерелятивистскому электрону.

---

P.S. Ну и, да, здесь читателю тоже предлагается подумать, не обманул ли я где-нибудь его.
P.P.S. Исправил некоторые опечатки (ну и ошибки, чего уж там). Но это еще не конец истории, продолжение следует.