четверг, 24 октября 2013 г.

Эффект Ааронова-Бома и суперсимметрия (продолжение)

Это продолжение предыдущего поста. Вот его краткое содержание. Рассматривая гамильтониан частицы в поле соленоида
мы заметили, что при его можно записать в виде , где и --- антикоммутирующие операторы.
Радиальное уравнение выглядит так
Функция зависит от распределения поля в соленоиде и обладает свойствами
Благодаря суперсимметрии, нам удалось найти одно из решений этого уравнения в пренебрежении правой частью (т.е., при ):
Тут следует заметить, что интеграл в экспоненте расходится на нижнем пределе если только . Поэтому лучше писать, скажем, так
Далее есть четыре различных случая
В случаях и функция ведет себя при как , как и следует, конечно. При этом в случае при мы получаем аномальное поведение , за которым мы, собственно, и охотились.
В случаях и функция ведет себя при похабно --- как , что нас, конечно, не устраивает. Найдем второе решение, имеющее в нуле правильную асимптотику. Ищем его методом вариации постоянных
 Для функции имеем уравнение
Считая выполненным условие , получаем
Легко определить зависимость коэффициента при : интеграл в показателе экспоненты равен , поэтому . Соответственно, , как и следует.
Теперь определим поведение коэффициента при :
Учитывая, что
получаем, что нужное нам решение для обоих случаев и при ведет себя как .
Резюмируя, можно сказать, что аномальное поведение радиальной волновой функции в пределе наблюдается только в случае , т.е., при . В случаях же и состояние не зануляется действием операторов .

понедельник, 21 октября 2013 г.

Эффект Ааронова-Бома и суперсимметрия

Рассмотрим нерелятивистскую частицу в поле соленоида. Гамильтониан Паули выглядит так:
Здесь --- удлиненный импульс. Поле точечного соленоида имеет вид
Зависимость волновой функции от тривиальна и далее мы соответствующую часть гамильтониана не рассматриваем. В частности, мы считаем далее, что . Переменные разделяются в координатах и, если искать решение в виде , получим на функцию уравнение
Здесь --- квант магнитного потока. Поскольку магнитное поле отсутствует во всей области , это уравнение имеет одинаковый вид для частицы с любым спином. Будем считать, что не является целям числом. Решения уравнения () очевидны --- функции Бесселя порядка . При функция Бесселя с отрицательным индексом стремится к бесконечности, поэтому выбираем решение, имеющее приличную асимптотику в нуле:
Здесь читателю предлагается подумать первый раз. Все правильно?