Рассмотрим нерелятивистскую частицу в поле соленоида. Гамильтониан Паули выглядит так:
Здесь --- удлиненный импульс. Поле точечного соленоида имеет вид
Зависимость волновой функции от тривиальна и далее мы соответствующую часть гамильтониана не рассматриваем. В частности, мы считаем далее, что . Переменные разделяются в координатах и, если искать решение в виде , получим на функцию уравнение
Здесь --- квант магнитного потока. Поскольку магнитное поле отсутствует во всей области , это уравнение имеет одинаковый вид для частицы с любым спином. Будем считать, что не является целям числом. Решения уравнения () очевидны --- функции Бесселя порядка . При функция Бесселя с отрицательным индексом стремится к бесконечности, поэтому выбираем решение, имеющее приличную асимптотику в нуле:
Здесь читателю предлагается подумать первый раз. Все правильно?
Разберемся. Понятно, что бесконечно тонкий соленоид означает предел соленоида конечного радиуса при . Или даже не предел, а просто ситуацию, когда . Рассмотрим эту ситуацию подробно. Для соленоида конечного радиуса имеем где функция стремится к нулю при и равна единице при . Например, для случая однородного поля внутри соленоида эта функция равна . В общем случае магнитное поле внутри соленоида выражается через производную этой функции: Соответственно, уравнение на имеет видЗдесь для спина вверх/вниз, . Если частица бесспиновая, можно положить . Поскольку , анализ проводится абсолютно аналогично анализу медленных частиц в § 132 3-его тома Ландау&Лифшица. На расстояниях больше радиуса соленоида, но много меньше уравнение имеет видОбщее решение --- комбинация степеней, которую мы запишем для удобства
какКоэффициенты не зависят от и определяются граничными
условиями в нуле. Из соображений размерности сразу очевидно, что,
с точностью до общей нормировки, они не зависят и от . Волновая
функция при произвольных является линейной комбинацией
с коэффициентами, которые, используя асимптотику функций Бесселя,
легко выразить через :Ну вот теперь в этой формуле мы можем перейти к пределу .
В этом пределе первый член доминирует над вторым и, да, мы получаемЗдесь читателю предлагается подумать второй раз. Все правильно?
Нет, не совсем. Это рассуждение годится, когда . А вот
если может получиться как раз ! Чтобы это доказать, обозначим
.
Тогда во всей области мы имеем Подстановкой легко проверить, что у этого уравнения есть решениеУчитывая, что при величина не меняется,
получаемгде .
Таким образом, когда , мы получаем чудо: для
любой функции коэффициент в ()
строго зануляется.
Конечно, хотелось бы понять, откуда такое чудо взялось. Вспоминаем,
что при гамильтониан Паули можно записать в видеВведем операторы Напомню, что жирные символами мы обозначаем двумерные вектора в плоскости
. Легко сообразить, что
А что это за соотношение? Правильно, это самый простейший пример суперсимметричной
алгебры. Нам, правда, хотелось бы сразу увидеть суперсимметрию в радиальном
гамильтониане. Но тут есть проблемы. Дело в том, что хотя сам гамильтониан
коммутирует с , операторы
--- уже нет. Поэтому определить операторы сразу для радиального уравнения
не удается. Тем не менее, выбрасывая из уравнения, мы,
фактически, получаем уравнение на состояние с энергией, равной нулю.
Поскольку гамильтониан выражается через квадрат эрмитова оператора,
это состояние, если существует, является основным и может быть найдено
из уравнения или . Если мы будем искать
решение в виде собственной функции операторов и ,
как , то как раз
получим (). Итак, подытожим.
Почти для любого наша прескрипция выбирать в качестве решения радиального уравнения функцию является правильной. Исключение составляет случай, когда (или ). Причиной такого необычного исключения можно считать суперсимметрию гамильтониана для этого случая. Для этих случаев мы должны выбирать . Замечательно этот исключительный случай как раз соответствует нерелятивистскому электрону.
P.S. Ну и, да, здесь читателю тоже предлагается подумать, не обманул ли я где-нибудь его.
P.P.S. Исправил некоторые опечатки (ну и ошибки, чего уж там). Но это еще не конец истории, продолжение следует.
Почти для любого наша прескрипция выбирать в качестве решения радиального уравнения функцию является правильной. Исключение составляет случай, когда (или ). Причиной такого необычного исключения можно считать суперсимметрию гамильтониана для этого случая. Для этих случаев мы должны выбирать . Замечательно этот исключительный случай как раз соответствует нерелятивистскому электрону.
P.S. Ну и, да, здесь читателю тоже предлагается подумать, не обманул ли я где-нибудь его.
P.P.S. Исправил некоторые опечатки (ну и ошибки, чего уж там). Но это еще не конец истории, продолжение следует.
Комментариев нет:
Отправить комментарий