Что-то рядом с Меллином.

Что писать в труды конференции --- всегда для меня проблема. С одной стороны доклад обычно уже делается по опубликованной работе, а с другой --- терпеть не могу писать уже написанное. Поэтому пытаюсь всунуть в свой вклад хоть что-то новое. Вот, в последний такой опус, вышедший сегодня, написал свои не до конца продуманные идеи про редукцию в параметрическом представлении. Среди прочего, использовал свойства следующего интегрального (точнее, наполовину интегрального, наполовину дифференциального) преобразования.
Рассмотрим линейное пространство гладких функций $\phi(x)$ на $[0,\infty)$, спадающих быстрее любого полинома на бесконечности и разложимых в ряд Тейлора в окрестности нуля. Определим в этом пространстве преобразование $$\phi(x)\to \tilde{\phi}_m=I^m[\phi],\,m\in\mathbb{Z}\,,$$ где $I^m[\phi]$ --- такой функционал $$I^m[\phi]=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^\infty dx x^{m-1}\phi(x)\,,& m>0\\ (-1)^m\phi^{(-m)}(0)\,,&m\leqslant 0\end{array}\right.$$
Красота этого определения --- в том, что справедливы следующие формулы $$I^m[-d\phi/dx]=I^{m-1}[\phi]\,,\quad I^m[x\phi]=m I^{m+1}[\phi]$$ Вот интересно, как написать обратное преобразование (если оно существует, конечно)?