Состояния фон Неймана-Вигнера

Квантовую механику я учил как раз четверть века назад. С тех пор и аж до 2011 года пребывал в наивной уверенности в том, что состояния непрерывного спектра обязательно ненормируемы. Но когда занимался задачей про квазилокализованные состояния, про которую я когда-то писал, обнаружил, что это не так. Еще на заре квантовой механики Вигнер и фон Нейман придумали пример нормируемых состояний непрерывного спектра.

Рассмотрим, например, такой потенциал $$\begin{equation*} V(x)=\left\{\begin{array}{rl}-\frac{\sin x (8 x \cos x-5 \sin x+\sin 3 x)}{x^2}& x>0&\\ \infty & x\leq 0\end{array}\right.\end{equation*}$$

Потенциал (заштрихован), энергия и волновая функция.

Потенциал на бесконечности стремится к нулю, поэтому при $E>0$ естественно ожидать непрерывный спектр. Подстановкой можно проверить, что у уравнения Шредингера $$\begin{equation*} k^2\psi=-\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi \end{equation*}$$ при $k=1$ есть точное решение $$\begin{equation*} \psi=\frac{e^{\text{Ci}(2 x)} \sin (x)}{x}, \end{equation*}$$ где $\text{Ci}(x)$ --- интегральный косинус. Соответствующая этому решению плотность при больших $x$ убывает как $1/x^2$, поэтому интеграл от нее сходится, и мы получаем нормируемое решение. Физическая причина нерасплывания волновой функции состоит в том, что горбы потенциала эффективно отражают частицу так, что вероятность ее убегания на бесконечность равна нулю. Из картинки видно, что максимумы вероятности находятся слева от каждого горба.

В моём примере энергия нормируемого состояния меньше, чем высота первого горба, но если я правильно помню, то можно подобрать и потенциал, в котором нормируемое состояние имеет энергию выше любого его горба.