Клин 2

Как известно, терема Римана об отображении позволяет однозначно отобразить любую односвязную область комплексной плоскости на верхнюю полуплоскость с помощью голоморфной функции $f(z)=u(x,y)+i v(x,y)$.

Вчера впал в десятисекудный клин, пытаясь сопоставить такие утверждения:

1. $v$ равно нулю на границе области (в плоскости $z$).
2. $\Delta v =0$ внутри области.
3. $v$ не равно нулю внутри области.
4. Ну, и принцип максимума, конечно. 

Вот что значит не задумывался. Или задумывался, но забыл?

Минимальность или экстремальность классического действия?

На днях неожиданно возник вопрос про минимальность классического действия $$S\left[x\left(t\right)\right]=\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\dot{\boldsymbol{x}}^{2}}{2}-U\left(\boldsymbol{x}\right)\right]$$ на классических траекториях $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}\left(t\right)$. Как понимать сноску 2 на стр. 10 в первом томе ЛЛ " Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых её участков..." . Что понимается под "достаточно малыми" участками? Инфинитезимальные или конечные? Покажем, что второе. Точнее мы докажем, что при достаточно малых, но конечных $T$, действие является локальным минимумом в пространстве траекторий с фиксированными концами, т.е., строго увеличивается при малых вариациях $\boldsymbol{x}$, сохраняющих значения $\boldsymbol{x}\left(0\right)$ и $\boldsymbol{x}\left(T\right)$.

Пусть $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}+\delta\boldsymbol{x}$, причем $\delta\boldsymbol{x}\left(0\right)=\delta\boldsymbol{x}\left(T\right)=0$, тогда имеем $$S\left[\boldsymbol{x}\right]=S\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]+\delta S=S\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]+\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}}{2}-\frac{1}{2}\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right]\,,$$ где мы опустили члены порядка $O\left(\delta x^{3}\right)$. Второй член может быть отрицательным, поэтому нам нужно доказать, что вклад первого члена больше для любых вариаций при достаточно малом $T$.

Пусть $\delta x_{max}=\left|\delta\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right|$ --- максимальное значение отклонения. Оцениваем: $$\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}\geqslant\left(\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|\right)^{2}\geqslant\left(\frac{1}{T}\intop_{0}^{t_{0}}dt\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}=\left(\frac{\delta x_{\mathrm{max}}}{T}\right)^{2}$$ Первое неравенство стандартно доказывается из $\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left(\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|-\frac{1}{T}\intop_{0}^{T}dt\left|\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right|\right)^{2}\geqslant0$ раскрытием скобок. Таким образом, если мы возьмём $$\begin{equation}\label{Tcond} T<\frac{1}{\max\sqrt{\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|}}\,, \end{equation}$$ то, очевидно, $\delta S>0$. Здесь $$\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|=\max_{\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}^{2}=1}\left|\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{\nabla}\right)^{2}U\left(x_{0}\right)\right|\,.$$ Действительно, имеем $$\begin{align*} \delta S & =\intop_{0}^{T}dt\left[\frac{\left(\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{2}}{2}-\frac{1}{2}\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right]\geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}-\intop_{0}^{T}dt\frac{1}{2}\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\delta x_{i}\delta x_{j}\right|\\ & \geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}-\intop_{0}^{T}dt\frac{1}{2}\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\right|\left(\delta\boldsymbol{x}\right)^{2}\geqslant\frac{\left(\delta x_{\mathrm{max}}\right)^{2}}{2T}\left(1-T^{2}\max\left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(x_{0}\right)\right|\right)>0\,. \end{align*}$$ Тут, конечно, есть формально вопрос, по какому множеству надо брать максимум  в уравнении $\eqref{Tcond}$. Если существует глобальный максимум, то можно взять его. Если же нет, то нужно учесть, что, когда мы будем уменьшать $T$, классическая траектория тоже будет меняться. Но она постепенно будет приближаться к прямой, соединяющей начальную и конечную точки, поэтому достаточно рассмотреть максимум по узкому цилиндру вблизи прямолинейной траектории.

Ещё удобнее при фиксированной траектории рассматривать действие на её кусках, как и предлагает ЛЛ. Ясно, что при делении траектории на всё меньшие и меньшие части $\max \left|\partial_{i}\partial_{j}U\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\right|$ для каждой части может только уменьшаться, а интервал времени обязательно уменьшается, поэтому легко найти требуемое разбиение.


 Конечно, как всегда, возможны патологические случаи, например, когда потенциал имеет излом на траектории. Однако, приведённые аргументы вполне дают представление о справедливости утверждения о минимальности классического действия и, в частности, о естественности названия "принцип наименьшего действия" в противоположность названию "принцип экстремального действия".

P.S. Кстати, если взять осциллятор, то мы увидим, что наша оценка довольно грубая --- в $\pi$ раз отличается от точной оценки. Ну, то есть уже при $T<\frac{\pi}{\omega}$ минимальность является обязательной, а у нас получилось $T<\frac1{\omega}$.