Задача

Придумал сегодня красивую задачку:

Пусть $M$ — квадратная матрица $n\times n$, чьи элементы — рациональные числа. Если её характеристический полином $$\lambda^{n}+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+c_{0}$$ имеет хотя бы один нецелый коэффициент $c_{k}$, то ясно, что никаким преобразованием подобия $$T: M\to T^{-1}MT$$ матрицу не сделать целочисленной. Вопрос: верно ли обратное: пусть все $c_{k}$ — целые. Всегда ли существует преобразование подобия $T$, переводящее матрицу в целочисленную?