Подписали несовершеннолетних

Если набрать в гугле "signed minors", ничего хорошего не получишь, по-крайней мере, на первой странице. Например, вторая сверху ссылка называется "Minor Signed an Agreement to Pay Debts". Вот тебе и релевантность результатов поиска. Английская википедия более продвинута, поскольку четвертый пункт называется cofactors и действительно имеет отношение к теме. Но все-таки, кофактор это частный случай signed minor-а, так сказать, next-to-adult, пользуясь принятой терминологией. Закончил филологические изыскания в гугловском переводчике, который, ничтоже сумняшеся, выдал тему. Красиво, точно, но, как говорится в известном мультике, для своих я просто Нюша, а точнее, минор со знаком (криво все-таки звучит).

Мне, конечно, кажется, что все про миноры со знаком должны знать, но на всякий случай объясню. Как учат нас старшие товарищи, объяснять как раз и нужно то, что, в общем-то, объяснять не нужно. А то, что действительно нужно объяснять, нужно старательно заметать под ковер дабы не вызвать в слушателях ненужных сомнений. Вот и я обнаружил и доказал недавно два красивых тождества и ну очень хотел впихнуть их в свой вклад в труды конференции, но когда дело до этого дошло, понял, что погрязну в объяснениях. Ограничился тем, что привел в статье частный случай одного из них и написал поясняющую все и сразу  фразу, оканчивающуюся на "presented elsewhere". Но зато успел отправить сегодня (в дедлайн).

Да, про миноры со знаком. Если есть у нас матрица
\[\left[\begin{array}{ccc}r_1^1&\ldots&r_N^{1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\r_1^N&\ldots&r_N^N\end{array}\right]\]
будем называть ее $\left(\begin{array}{c}i_1,\ldots,i_m\\j_1,\ldots,j_m\end{array}\right)$-минором (обозначение только что придумал) детерминант матрицы, которая получается из исходной вычеркиванием столбцов под номерами  $i_1,\ldots,i_m$ и строк под номерами $j_1,\ldots,j_m$. Видим, что минор симметричен по верхним и по нижним индексам. А минор со знаком — антисимметричен. Потому что от просто минора отличается таким множителем
\[(-1)^{i_1+\ldots+i_m+j_1+\ldots+j_m}\sigma(i_1,\ldots, i_m)\sigma(j_1,\ldots, j_m)\]
Здесь $\sigma(i_1,\ldots, i_m)=\pm 1$ обозначает четность перестановки, которую нужно сделать чтобы упорядочить по возрастанию ряд чисел $i_1,\ldots, i_m$. Обозначать этот страх будем так
\[R_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m}=(-1)^{i_1+\ldots+i_m+j_1+\ldots+j_m}\sigma(i_1,\ldots, i_m)\sigma(j_1,\ldots, j_m)\left(\begin{array}{c}i_1,\ldots,i_m\\j_1,\ldots,j_m\end{array}\right)\]
Например, детерминант всей матрицы будет равен
\[R=\left(\begin{array}{с}\, \\\, \end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}r_1^1&\ldots&r_N^{1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\r_1^N&\ldots&r_N^N\end{array}\right|\]
Если наша матрица состоит из независимых переменных, то мы можем любой минор со знаком получить простым дифференцированием $R$:
\[R_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m}=\frac{\partial}{\partial r_{i_1}^{j_1}}\ldots \frac{\partial}{\partial r_{i_m}^{j_m}} R\]

Теперь вернемся к теореме Карла Якоби (см. предыдущий пост)

"If the determinant of a block $= R$, the determinant of any minor of the $m$th degree of the adjugate block is the product of $R^{m-1}$ and the coefficient which, in $R$, multiplies the determinant of the corresponding minor."

(C.Jacobi)

В терминах наших миноров со знаком эту теорему можно записать так
\[m! R_{j_1}^{[i_1}\ldots R_{j_m}^{i_m]}=R^{m-1}R_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m}\]
Я этого сразу не понял, но ведь мне никто и не подсказал. Так что эквивалентность выписанной формулы теореме Якоби должна быть понятна. Вообще-то, это уравнение говорит чуть больше, чем теорема Якоби, но это "чуть больше" — тривиальное утверждение, что если есть повторяющиеся верхние или нижние индексы, то ноль с обеих сторон и довольно простое утверждение о том, что знак правильный.
Кстати, тождество Доджсона Desnanot-Jacobi — это частный случай теоремы при $m=2$. Кстати, эквивалентное этому тождество и тоже очень красивое можно записать так
\[C_{m}^k R_{j_1\ldots j_k}^{[i_1\ldots i_k}\,R_{j_{k+1}\ldots j_m}^{i_{k+1}\ldots i_m]}=R\,R_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m}\]

Теперь собственно к найденным мной (приоритет!) тождествам. Я их умею доказывать, используя теорему Якоби, но кто же эту скуку в состоянии будет прочитать. А между тем, сами тождества — красоты неописуемой (в смысле, легче предъявить тождества, чем описать их красоту). Рассмотрим такой оператор
\[D_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial}{\partial r_{i_1}^{j_1}}&\ldots&\frac{\partial}{\partial r_{i_m}^{j_1}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial}{\partial r_{i_1}^{j_m}}&\ldots&\frac{\partial}{\partial r_{i_m}^{j_m}}\end{array}\right|\]
Первое тождество такое
\begin{equation}D_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m} (R)^{\alpha}=\alpha (\alpha+1)\ldots (\alpha+m-1)R_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m} (R)^{\alpha-1}\end{equation}

А теперь рассмотрим симметричную матрицу
\[\left[\begin{array}{ccc}s_{1,1}&\ldots&s_{1,N}\\\vdots&\ddots&\vdots\\s_{1,N}&\ldots&s_{N,N}\end{array}\right]\]
Мне-то в статье как раз такая нужна была.  Соответственно, миноры будем буквой $S$ обозначать. Вопрос: можно ли похожую формулу написать для этого случая? Оказывается, можно. Используем теперь такой оператор
\[\tilde{D}_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m}=\left|\begin{array}{ccc}2^{\delta_{i_1,j_1}-1}\frac{\partial}{\partial s_{i_1,j_1}}&\ldots&2^{\delta_{i_m,j_1}-1}\frac{\partial}{\partial s_{i_m,j_1}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\2^{\delta_{i_1,j_m}-1}\frac{\partial}{\partial s_{i_1,j_m}}&\ldots&2^{\delta_{i_m,j_m}-1}\frac{\partial}{\partial s _{i_m,j_m}}\end{array}\right|\]
Так вот, второе тождество выглядит так
\begin{equation}\tilde{D}_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m} (S)^{\alpha}=\alpha (\alpha+1/2)\ldots (\alpha+(m-1)/2)S_{j_1,\ldots,j_m}^{i_1,\ldots,i_m} (S)^{\alpha-1}\end{equation}

Вот такая производная по минору.