Судный день

На выходных прошел экзамен по КТРИ. Результаты таковы:

5	4	3	2	н/д
14	10	6	21	31

no comments.
Скажу лишь в свое оправдание, что трудно преподавать КТРИ, когда студенты почему-то абсолютно не помнят ни квантовой механики, ни методов мат. физики, не говоря уже о специальной теории относительности и мат. анализе, которые были -- подумать страшно -- два года назад. Перед экзаменом договорились с преподавателями, что, поскольку студент нынче слабый, при очевидной сказанной глупости не выгоняем студента, а пытаемся сначала направить на путь истинный. Вот, например, один из эпизодов со сдачи.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ(После затяжного разговора по теме билета пытается вернуться к первоосновам): -- Ну скажите, как выглядит соотношение неопределенности, дельта икс на дельта пэ ...?
СТУДЕНТ (проговаривая и записывая):  -- $\Delta x\,\Delta p=\pi$ (дельта икс на дельта пэ равно пи)
П: (пытаясь немного оправиться от услышанного и борясь с искушением сразу выгнать студента на пересдачу): -- Ммм... А как же размерность?
С(через 5 мин трудных воспоминаний): -- А, вспомнил: $\Delta x\,\Delta p=\hbar$
П: -- Ну, и все равно не совсем правильно...
С: -- $\hbar/2$?
П: -- Нет.
С: -- $\pi\hbar$?
П: -- Нет, ну соотношение неопределенности - это, ведь, неравенство.
С: -- Аа, точно! Вот: $\Delta x\,\Delta p\leq\hbar$
П: -- ...
...

П(через полчаса борьбы): Ну ладно, я вам ставлю тройку.
С: Нет, мне четверка нужна. Поставьте тогда двойку, я на пересдачу приду.

Скажу справедливости ради, что некоторая часть студентов находится вполне на уровне сильных студентов прошлых лет. Жаль только, что таких студентов стало меньше.

Плоская шутка

Открываем Базя, Зельдовича и Переломова и видим такую формулу

 

Помню, когда я читал эту книжку студентом, никак не мог ее понять. Ну, теперь-то я эту формулу умею выводить: берем разложение плоской волны
\[
e^{ikr\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime}}=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})
j_{l}(kr)
\]
и устремляем $r$ к бесконечности. Используем асимптотику функции Бесселя
\[
i^{l}j_{l}(kr)\stackrel{r\to\infty}{\to}
\frac{i}{2kr}\left((-1)^le^{-ikr}-e^{ikr}\right)
\]
и сумму полиномов Лежандра
\[
\sum\left( 2l+1\right) P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})=4\pi\delta(\mathbf{n}-\mathbf{n}^{\prime})
\]
(ну, и сумму с заменой $\mathbf{n}\to-\mathbf{n}$) и получаем желаемое.
Но все-же, формула выглядит подозрительно, слева стоит функция с единичным модулем,а справа что? Вопрос:где подвох.

Замкнутая вселенная

По мотивам одной задачи из блога Константина Кнопа, в котором я периодически нахожу интересные задачи.
Пусть у нас есть риманово многообразие. Дадим два естественных определения:

Расстояние между двумя точками

Минимальная длина кривой, их соединяющей (тем самым, определено метрическое пространство)

Размер многообразия

Максимальное расстояние между двумя его точками

Согласно этому определению, размер круга или шара равен диаметру, а размер сферы — $\pi r$.
Оригинальная задача состоит в том, чтобы найти размер поверхности прямоугольного параллелепипеда $1\times 1\times 2$. Любопытно также проанализировать параллелепипед с другими пропорциями. Или, допустим, определить размеры правильных многогранников. В общем, дальше можно фантазировать в свое удовольствие.