\[
e^{ikr\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime}}=\sum(2l+1) i^{l}P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})
j_{l}(kr)
\]
и устремляем $r$ к бесконечности. Используем асимптотику функции Бесселя
\[
i^{l}j_{l}(kr)\stackrel{r\to\infty}{\to}
\frac{i}{2kr}\left((-1)^le^{-ikr}-e^{ikr}\right)
\]
и сумму полиномов Лежандра
\[
\sum\left( 2l+1\right) P_{l}(\mathbf{n}\mathbf{n}^{\prime})=4\pi\delta(\mathbf{n}-\mathbf{n}^{\prime})
\]
(ну, и сумму с заменой $\mathbf{n}\to-\mathbf{n}$) и получаем желаемое.
Но все-же, формула выглядит подозрительно, слева стоит функция с единичным модулем,а справа что? Вопрос:где подвох.
Рома, я, кстати, ткнулся в несколько мест, нашел несколько опечаток. У меня также есть замечание по существу, но они все второго порядка (т.е. текст в нулевом порядке в заблуждение студентов не вводит). Всё вышлю позже. Единственная опечатка первого порядка, на которую я наткнулся, - это ошибка в определении CPT.
ОтветитьУдалитьСпасибо, Гриша. Исправлю CPT.
ОтветитьУдалитьРискуя опозориться и навсегда потерять репутацию, я скажу, что справа стоит ноль. Разбираться нет сил и времени. Думаю, эта формула имеет смысл, как подинтегральное выражение, а так - нет.
ОтветитьУдалитьВладимир, Ваше первое предложение противоречит последнему. Ноль -- он и под интегралом ноль. Последнее предложение, впрочем, похоже на правду. Но вопрос был, где подвох в выводе?
ОтветитьУдалитьРискуя опять опозориться и навсегда потерять репутацию, я наобум скажу, что разложение этой экспоненты по полиномам Лежандра, равно как и просто в степенной ряд, можно/нужно понимать лишь символически, так как ряд сходится лишь в обобщенном смысле, а не в результате почленного суммирования. По этой причине, дальнейшие линейные операции с членами ряда сомнительны (незаконны, дают неверный результат). Может вполне быть, что следующие члены разложения функций Бесселя дают вполне разумный и конечный вклад в полную сумму, но он выпадает при интегрировании. "Ведущие" же члены дают дельта-функции, что есть почти всегда ноль, если без интегрирования, но которые "выживают" за счет него.
ОтветитьУдалитьСейчас не помню, но есть, кажется, такое понятие, как сходимость в среднем, подразумевающее интегрирование. Может дело в этом?
ОтветитьУдалитьЧем мутнее ответ, тем труднее сказать, правильный он или нет... Кстати, на новые комментарии можно подписаться (см. правую панель), чтобы не заходить на страницу каждые 15 минут и не греть счетчик :).
ОтветитьУдалитьСпасибо, Рома, за совет, и я, кажется уже подписывался, но, очевидно, не в этом разделе.
ОтветитьУдалитьЛадно, будем считать, что я не знаю, в чем там дело. Я сейчас болею и думать не могу. А на вскидку ничего другого на ум не пришло.
Пока ехал с работы, опять подумал над этой формулой и решил, что скорее всего речь идет об интеграле по углам при очень больших $r$. Какой-нибудь контурный интеграл. Тогда можно оставить то, что написано, а остальное отбросить после интегрирования по углам, как еще быстрее убывающее по $r$ выражение. Без интегрального контекста эта формула не верна, так как у этой экспоненты нету четкой асимптотики при больших $r$ и использивание только асимптотик функций Бесселя неправомерно. Остальные члены тоже важны. Их отбрасывание и есть подвох. Разве не так?
ОтветитьУдалить