Про идеалы

Идеалов в реальном мире не бывает, но в математике они существуют еще как. Идеалы в  математике бывают разные, но здесь я расскажу про идеалы коммутативных колец.
Вообще, кольцо --- это множество, замкнутое относительно двух операций со свойствами сложения и умножения. Эти операции поэтому часто так и называют: сложение и умножение. Правда, коммутативность умножения не требуется, но нас интересует как раз кольцо с коммутативным умножением --- коммутативное кольцо. Ну еще хотят чтобы был нуль, и был противоположный элемент. Существование противоположного элемента позволяет определить в этом множестве и операцию вычитания по формуле $a-b\equiv a+(-b)$, где $-b$ --- элемент, противоположный $b$. Заметим, что существование единичного элемента и обратного элемента для ненулевого $a$ не требуется, и в этом принципиальное отличие кольца от поля.
Говоря неформально, в кольце деление даже на ненулевой элемент может быть невыполнимо. И, естественно, встает вопрос, а когда же деление все-таки выполнимо? Возьмем элемент кольца $a$ и спросим, какие элементы $b$ на него делятся, для каких $b$ разрешимо уравнение $$\begin{equation}b=ca.\label{eq1}\end{equation}$$ Множество допустимых значений $b$ является примером идеала.

Возьмем самый простой пример коммутативного кольца — множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с обычным сложением и умножением. Тогда, например, множество чисел, кратных числу $a$ является идеалом.

Можно расширить определение идеала так: пусть заданы несколько элементов кольца $a_1,\ldots,a_n$. Тогда идеал определим как множество значений $b$ (из кольца, конечно), для которых уравнение $$\begin{equation}b=c_1a_1+\ldots+c_na_n\label{eq2}\end{equation}$$ разрешимо относительно $c_1,\ldots,c_n$ (в кольце, конечно). Про такие идеалы говорят, что они порождаются элементами $a_1,\ldots,a_n$. Для кольца целых чисел наше обобщение $\eqref{eq2}$ не добавляет ничего нового. Чтобы это понять, заметим, что, во-первых, достаточно рассматривать идеалы, порожденные натуральными числами. Во-вторых, идеал, порожденный натуральными числами $a_1,\ldots,a_n$, совпадает с идеалом, порожденным  $\mathrm{GCD}(a_1,\ldots,a_n)$. Таким образом, в кольце целых чисел не только каждому натуральному числу соответствует идеал, но и наоборот, что открывает возможность переформулировать утверждения о натуральных числах в утверждения об идеалах. Вот, например, идеал, соответствующий простому числу (по понятным причинам называется простым идеалом), --- это собственный идеал (собственный $\equiv$ не совпадающий со всем кольцом), обладающий следующим свойством: для любого его элемента, имеющего вид произведения, по-крайней мере один из сомножителей также принадлежит идеалу. Теперь, когда у нас есть такое определение, мы можем его использовать для идеалов любых коммутативных колец, и, естественно, надеяться, что у этой и подобных конструкций есть простой смысл и большая польза.

Вот, например, рассмотрим полиномиальное кольцо ---  множество полиномов от $n$ переменных $x_1,\ldots,x_n$ с комплексными, скажем, коэффициентами. Полиномы, как и целые числа, можно складывать и умножать.  Обозначать это множество будем так: $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$. В этом кольце наше обобщение $\eqref{eq2}$ уже не сводится к $\eqref{eq1}$. Для кольца целых чисел каждый идеал у нас соответствовал натуральному числу, а для кольца полиномов идеалу можно придать гораздо более интересный смысл. А именно, идеалу, порожденному полиномами $p_1,\ldots,p_n$, сопоставим алгебраическое многообразие в $R^n$, заданное полиномиальными уравнениями $$\begin{align}p_1=0\nonumber\\\vdots\label{eq3}\\p_n=0\nonumber\end{align}$$ Только вот это соответствие неоднозначное. В частности, если мы любой полином в системе $\eqref{eq3}$ заменим на его степень, многообразие, очевидно не поменяется, а идеал, вообще говоря, поменяется. Чтобы соответствие было однозначным, нам нужно рассматривать не все идеалы, а то, что называется радикал-идеалы. Радикал-идеал $\mathcal{I}$ --- это идеал, для которого из условия $a^n\in \mathcal{I}$ следует $a\in \mathcal{I}$. Так вот соответствие между радикал-идеалами и алгебраическими многообразиями однозначно. Это означает, что, исследуя радикал-идеалы, можно исследовать алгебраические многообразия. Кстати, радикал-идеалы в кольце $\mathbb{Z}$ соответствуют натуральным числам, в разложении которых на простые нет степеней. Поэтому радикал-идеалы называются еще полупростыми. Очевидно, что простые идеалы являются также полупростыми, а обратное не всегда верно.

Пример приводимого многообразия,
заданного уравнением
$(x^2+y^2-4)(x^2-y)=0$

Чтобы понять, чему соответствуют простые идеалы, нам нужно ввести понятие неприводимых алгебраических многообразий. Неприводимые алгебраические многообразия ---  алгебраические многообразия, которые нельзя представить в виде объединения нескольких алгебраических многообразий. Так вот, неприводимые алгебраические многообразия играют роль простых чисел --- им соответствуют простые идеалы.

Красота идеальной математики на этом не кончается, но вот пост пора закруглять. Могу только порекомендовать для самообразования книжку Кокс, Литтл, О'Ши Идеалы, многообразия и алгоритмы. 

P.S. Все, можно статьи писать прямо в блоггере. Последний MathJax поддерживает нумерацию уравнений + ссылки через \ref и \eqref. Чтобы узнать как это включить, смотреть в коде поста скрипт с  src="...MathJax.js"