понедельник, 11 октября 2010 г.

Обман студентов

Хороший преподаватель должен обманывать студентов (Некоторые, правда, обманывают, не отдавая себе в этом отчет, что имеет свои плюсы и минусы). Приведу два примера.

Все студенты, специализирующиеся в физике элементарных частиц, атомной физике и т.п., изучают релятивистские поправки к гамильтониану, то, что называется гамильтонианом Брейта. Этот гамильтониан выводится следующим образом. Сначала вычисляется амплитуда рассеяния двух частиц и раскладывается по параметру . Затем эта амплитуда сравнивается с борновской амплитудой в нерелятивистской квантовой механике для некоторого потенциала . Получается

где и — энергии начальных и конечных частиц. Вспоминая, что —просто преобразование Фурье от потенциала, делаем обратное преобразование и дело в шляпе. Получили потенциал взаимодействия вместе с первой поправкой по релятивизму. Ну, еще, конечно, кинетические члены нужно добавить. Ну и где же здесь обман?

Чтобы сделать обратное преобразование Фурье, нам нужно, чтобы передача была независимой переменной. Посчитаем число свободных параметров.

Получили, что амплитуда на массовой поверхности имеет восемь независимых параметров. А сколько же нам надо? Девять, по три на каждый вектор , , . Значит, между этими векторами есть одна связь. И действительно, выражая двумя разными способами, получаем связь
А как же мы тогда делали преобразование Фурье...? Добавим к , например, и получим другой потенциал.

На практике, при вычислении в кулоновской калибровке, вопроса не возникает, потому что в ответе не появляется, и не надо думать на что его заменять. В ковариантной калибровке уже появляется и правильная прескрипция состоит в том, чтобы заменить

Объяснение ограничивается словами: "этот рецепт обеспечивает зануление в пределе, когда одна из частиц становится бесконечно тяжелой". Ясно, что, по сути, это обман и более правильное рассмотрение должно быть основано, например, на уравнении Бете-Солпитера. Мне лично вообще не понятно, можно ли проблему связанных состояний сформулировать строго (пост отчасти навеян прочтением недавней статьи Ефимова в архиве. В статье, на мой взгляд, содержится, как минимум, логический прокол, но мысль понятна). Но студентам это объяснение не осилить, по-крайней мере, за разумное для всего курса время. Поэтому, проще всего здесь их обмануть. Я, собственно, в свою бытность студентом и не знал что меня обманули, а понял это только когда сам с этим стал разбираться.

Второй пример касается перенормировки электромагнитного тока в КЭД. Открываем, например, Ченга&Ли и читаем (изложение вольное):

Рассмотрим трехточечную функцию Грина

и пропагатор
(Здесь под знаком T-упорядочивания стоят гейзенберговские операторы). Тождество Уорда — связь между этими функциями:
. Перенормированные функции определяются соотношениями
Подставляя в тождество Уорда, получаем
. Поскольку правая часть не зависит [в размерностной регуляризации] от точки вычитания, величина в левой части также не должна зависеть от точки вычитания. Другими словами, сохраняющийся ток не перенормируется.

Этот пассаж сделан для теории , и в этой теории вывод правилен. Но в КЭД, за исключением тривиального случая, нужно включить взаимодействие с э/м полем . Вопрос: что окажется неправильным в вышеприведенном пассаже?

Неправильной оказывается молчаливо подразумевающаяся мультипликативная перенормируемость оператора . На самом деле, этот оператор в результате взаимодействия смешивается с оператором .

Уже в одной петле мы можем это понять. Как обычно, пишем

Здесь индекс относится к операторам в представлении взаимодействия. Если просто заменяем экспоненту на единицу, получаем борновский м.э. Дальше мы должны разложить экспоненту до второго члена, вычислить матричный элемент в размерностной регуляризации и взять из него члены. Если оператор перенормируется мультипликативно, то при них должна собраться борновская структура (с коэффициентом). Спаривание операторов приводит к следующим диаграммам:

Расходящаяся часть (РЧ,члены в размерностной регуляризации) есть во всех четырех. РЧ первых трех диаграмм пропорциональны борновскому результату (, если ампутировать внешние концы). Более того, РЧ первой диаграммы можно отнести к , а РЧ второй сокращается с РЧ третьей, что можно проверить прямым вычислением. Все было бы хорошо, если бы не последняя, четвертая диаграмма. РЧ этой диаграммы имеет другую структуру (), что совпадает с борновской структурой для оператора в таком же матричном элементе

Это и показывает смешивание операторов и . Кто хочет бОльших красот и строгости, смотреть статью Collins,Manohar&Wise. Опять-таки, стоит ли это обсуждать со студентами? Или пусть они лучше запомнят, что сохраняющийся ток не перенормируется? Это утверждение, хотя, как любое категорическое, и не правильное, но все-же физически важное. Так же, как и мое утверждение про обман студентов.

P.S. Мне, кстати, обман обычно не удается, и я начинаю бормотать "правильное объяснение", пытаясь уложиться в одну фразу, что понимания не прибавляет.

13 комментариев:

  1. Ефимов - это чистый эпатаж.

    The conclusion: the relativistic QED is not suited to describe real bound states correctly.

    В ынтырнетах это называют троллингом, а по-русски провокацией. Фраза

    It is shown that the relativistic and non-relativistic QED gives different results for this mass shift.

    вообще полный пиздец. Видно, что физики методы пиара освоили в полной мере.

    ОтветитьУдалить
  2. А что, там правда такая фраза есть? Мда, видно я по-диагонали читал. К эпатажу в научных статьях я, Гриша, давно уже привык, поэтому не нервничаю по этому поводу. А здоровую провокацию я вполне признаю, если только у нее есть какая-нибудь цель, кроме печати никчемной статьи с большим индексом цитирования. Вот, например, в форме поста. Ну, я вообще-то, не собирался обсуждать Ефимова, наверное, его вообще поминать не надо было. Про статью я бы сказал так: ну ужас, но не ужас-ужас-ужас.
    То, что я хотел сказать --- это что я не уверен в том, что задача на связанные состояния действительно строго сформулирована в КЭД. Речь, конечно, идет не о первой релятивистской поправке.
    А ты что, уверен?

    ОтветитьУдалить
  3. Смотря на какие связанные состояния. Мюона и электрона - да, уверен. Позитрония - нет такого состояния в принципе. Физика резонансов на половину состоит из определений, жонглировать которыми можно до бесконечности. Я как-то на школе в Протвино пытался добиться от Высоцкого строго теоретико-полевого определения ширины W-бозона. Он меня просто не понял.

    ОтветитьУдалить
  4. >А здоровую провокацию я вполне признаю, если только у нее есть какая-нибудь цель, кроме печати никчемной статьи с большим индексом цитирования.

    The rise of graphene ;)

    Как там Ваня воспринял новость о присуждении премии за графен (графин? как, блин, правильно произноситься?). Он, наверное, теперь все гранты выигрывать будет ;)

    ОтветитьУдалить
  5. Ну, Гриша, больно ты суров. Тогда уж и мюон+электрон на помойку (нейтрино ведь смешиваются) :). По-твоему, любое возбужденное состояние не существует. Тем не менее, вопроса о результатах эксперимента и их интерпретации никто не снимал. А так --- хоть горшком назови. Ясно, что, по-крайней мере, поправки, бОльшие ширины имеют смысл (на самом деле, видимо, бОльшие чем ). Видимо, ты имеешь в виду, что на каком-то уровне точности в задачу будет входить способ приготовления состояния, так что-ли? А как же полюса амплитуды?
    Нет, тут лучше подумать, чем с плеча рубить.

    ОтветитьУдалить
  6. А, ну пардон, в КЭД мюон+электрон существует, но я не об этом, как ты понимаешь.

    ОтветитьУдалить
  7. Рома, это не тот Ефимов! Это что его сын?

    Слушай, Рома, и всё-таки. Если взять фурье от коррелятора , то будет ли полюс по близко от реальной оси, но с реальной частью меньше ? Помню, что ты как-то отстаивал экстремистское утверждение, что полюсов вообще не бывает, и что это видно из дисперсионного соотношения.

    То есть, действительно, если мы возьмем сечение и хотим его продолжить на всю комплексную плоскость по , то продолжать мы должны с помощью формулы Коши только с разрезом от (аномального) порога, т.е. от , который соответствует анигиляции в фотоны, с ступенько+пиково-подобным поведением в области у абсорбционной части. Но у сечения, как аналитической функции от , никаких других особенностей сечения, кроме разреза вдоль вещественной оси не будет. Однако если мы рассмотрим амплитуду рассеяния двух частиц, взаимодействующих посредством притягивающего потенциала, в нерелятивистской квантовой механике, то в ней-то полюса точно есть. Как быть?

    ОтветитьУдалить
  8. >Помню, что ты как-то отстаивал экстремистское
    >утверждение, что полюсов вообще не бывает, и что
    >это видно из дисперсионного соотношения.
    Я тоже помню что-то такое, но уже забыл подробности. В голове засело в качестве сухого осадка с того времени, что полюса все-таки есть, но не на физическом листе.

    А насчет Ефимова я, често говоря, не в курсе. Признаюсь, пробил по Spires, чтобы проверить на вменяемость, но больше ничего не знаю. А чем старший Ефимов известен?

    ОтветитьУдалить
  9. Короче, проект решения таков: если мы с верхней полуплоскости пойдем дальше вниз или с нижней вверх, то найдем полюс с . Вообще, на вопрос об аналитических св-вах амплитуды человек, преподающий кв.мех., по идее, должен не думая отвечать, стыдно (никому не говори). Почитаю Базя,Зельдовича и Переломова.

    ОтветитьУдалить
  10. А вот тема: амплитуда зависит от и . Как показать, что положение полюса по не зависит от ? Или что зависит, это было бы еще интереснее, но звучит как ересь.

    ОтветитьУдалить
  11. Efimov states - даже на Педивикии есть. Остальное с гавнофона не читается нормально.

    ОтветитьУдалить
  12. Так, в ЛЛ так и написано:

    "Таким образом, квазидискретные уровни энергии, как и истинные дискретные уровни, являются нулями функции (коэффициента при сходящейся волне). Однако, в отличие от нулей, соответствующих истинным уровням, они лежат не на физическом листе."
    Торжество дедукции.

    ОтветитьУдалить