Обман студентов

Хороший преподаватель должен обманывать студентов (Некоторые, правда, обманывают, не отдавая себе в этом отчет, что имеет свои плюсы и минусы). Приведу два примера.

Все студенты, специализирующиеся в физике элементарных частиц, атомной физике и т.п., изучают релятивистские поправки $\sim v^2/c^2$ к гамильтониану, то, что называется гамильтонианом Брейта. Этот гамильтониан выводится следующим образом. Сначала вычисляется амплитуда $M_{fi}$ рассеяния двух частиц и раскладывается по параметру $v/c$. Затем эта амплитуда сравнивается с борновской амплитудой $-V_{fi}$ в нерелятивистской квантовой механике для некоторого потенциала $V$. Получается

$$V_{fi}=\frac{-M_{fi}}{\sqrt{2\varepsilon'_2}\sqrt{2\varepsilon'_1}\sqrt{2\varepsilon_2}\sqrt{2\varepsilon_1}},$$ где $\varepsilon_{1,2}$ и $\varepsilon'_{1,2}$ — энергии начальных и конечных частиц. Вспоминая, что $V_{fi}$ —просто преобразование Фурье от потенциала, делаем обратное преобразование и дело в шляпе. Получили потенциал взаимодействия вместе с первой поправкой по релятивизму. Ну, еще, конечно, кинетические члены $-p_{1,2}^2/8m^3$ нужно добавить. Ну и где же здесь обман?

Чтобы сделать обратное преобразование Фурье, нам нужно, чтобы передача $\mathbf{q}$ была независимой переменной. Посчитаем число свободных параметров.

$$4\times4(\text{4-импульсы начальных и конечных частиц})-4(\text{закон сохранения})-4(\text{связь} p_i^2=m_i^2)=8$$ Получили, что амплитуда на массовой поверхности имеет восемь независимых параметров. А сколько же нам надо? Девять, по три на каждый вектор $\mathbf{p}_1$, $\mathbf{p}_2$, $\mathbf{q}$. Значит, между этими векторами есть одна связь. И действительно, выражая $q_0$ двумя разными способами, получаем связь $$С=\frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}-\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}=0$$ А как же мы тогда делали преобразование Фурье...? Добавим к $V_{fi}$, например, $0=\frac{C^2}{\mathbf{q}^4}$ и получим другой потенциал.

На практике, при вычислении в кулоновской калибровке, вопроса не возникает, потому что $q_0$ в ответе не появляется, и не надо думать на что его заменять. В ковариантной калибровке уже появляется $q_0^2$ и правильная прескрипция состоит в том, чтобы заменить

$$q_0^2\to \frac{2\mathbf{qp}_{1}-\mathbf{q}^{2}}{2m_{1}}\times\frac{2\mathbf{qp}_{2}+\mathbf{q}^{2}}{2m_{2}}.$$ Объяснение ограничивается словами: "этот рецепт обеспечивает зануление $q_0^2$ в пределе, когда одна из частиц становится бесконечно тяжелой". Ясно, что, по сути, это обман и более правильное рассмотрение должно быть основано, например, на уравнении Бете-Солпитера. Мне лично вообще не понятно, можно ли проблему связанных состояний сформулировать строго (пост отчасти навеян прочтением недавней статьи Ефимова в архиве. В статье, на мой взгляд, содержится, как минимум, логический прокол, но мысль понятна). Но студентам это объяснение не осилить, по-крайней мере, за разумное для всего курса время. Поэтому, проще всего здесь их обмануть. Я, собственно, в свою бытность студентом и не знал что меня обманули, а понял это только когда сам с этим стал разбираться.

Второй пример касается перенормировки электромагнитного тока в КЭД. Открываем, например, Ченга&Ли и читаем (изложение вольное):

Рассмотрим трехточечную функцию Грина

$$G_{\mu}(p,q)=\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\phi(y)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ и пропагатор $$\Delta(p)=\int dx\,e^{-ipx}\langle\mathrm{T}\phi(x)\phi^{\dagger}(0)\rangle$$ (Здесь под знаком T-упорядочивания стоят гейзенберговские операторы). Тождество Уорда — связь между этими функциями: $$-iq^{\mu}G_{\mu}(p,q)=\Delta(p+q)-\Delta(p)$$ . Перенормированные функции определяются соотношениями $$\begin{eqnarray}G^{R}_{\mu}(p,q)&=&Z_{\phi}^{-1}Z_J^{-1}G_{\mu}(p,q)\nonumber\\\Delta^{R}(p)&=&Z_{\phi}^{-1}\Delta(p)\end{eqnarray}$$ Подставляя в тождество Уорда, получаем $$-iq^{\mu}Z_JG^{R}_{\mu}(p,q)=\Delta^R(p+q)-\Delta^R(p)$$ . Поскольку правая часть не зависит [в размерностной регуляризации] от точки вычитания, величина $Z_J$ в левой части также не должна зависеть от точки вычитания. Другими словами, сохраняющийся ток не перенормируется.

Этот пассаж сделан для теории $\phi^4$, и в этой теории вывод правилен. Но в КЭД, за исключением тривиального случая, нужно включить взаимодействие с э/м полем $A$. Вопрос: что окажется неправильным в вышеприведенном пассаже?

Неправильной оказывается молчаливо подразумевающаяся мультипликативная перенормируемость оператора $J_\mu$. На самом деле, этот оператор в результате взаимодействия смешивается с оператором $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$.

Уже в одной петле мы можем это понять. Как обычно, пишем

$$\langle\mathrm{T}J_{\mu}(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle=\langle\mathrm{T}J_{I\mu}(x)\psi_I(y)\bar\psi_I(0)\cdot\exp\left[-ie\int dx (A_I\cdot J_I)\right]\rangle$$ Здесь индекс $I$ относится к операторам в представлении взаимодействия. Если просто заменяем экспоненту на единицу, получаем борновский м.э. Дальше мы должны разложить экспоненту до второго члена, вычислить матричный элемент в размерностной регуляризации и взять из него $1/\epsilon$ члены. Если оператор перенормируется мультипликативно, то при них должна собраться борновская структура (с коэффициентом). Спаривание операторов приводит к следующим диаграммам:

Расходящаяся часть (РЧ,члены $1/\epsilon$ в размерностной регуляризации) есть во всех четырех. РЧ первых трех диаграмм пропорциональны борновскому результату ($\propto \gamma_{\mu}$, если ампутировать внешние концы). Более того, РЧ первой диаграммы можно отнести к $Z_{\psi}$, а РЧ второй сокращается с РЧ третьей, что можно проверить прямым вычислением. Все было бы хорошо, если бы не последняя, четвертая диаграмма. РЧ этой диаграммы имеет другую структуру ($\propto \gamma^{\nu}(q_{\nu}q_{\mu}-q^2 g_{\nu\mu})$), что совпадает с борновской структурой для оператора $\partial^{\nu}F_{\nu\mu}$ в таком же матричном элементе

$$\int dx\,dy\, e^{-iqx-ipy}\langle\mathrm{T}(\partial^{\nu}F_{\nu\mu})(x)\psi(y)\bar\psi(0)\rangle\,.$$ Это и показывает смешивание операторов $J$ и $\partial F$. Кто хочет бОльших красот и строгости, смотреть статью Collins,Manohar&Wise. Опять-таки, стоит ли это обсуждать со студентами? Или пусть они лучше запомнят, что сохраняющийся ток не перенормируется? Это утверждение, хотя, как любое категорическое, и не правильное, но все-же физически важное. Так же, как и мое утверждение про обман студентов.

P.S. Мне, кстати, обман обычно не удается, и я начинаю бормотать "правильное объяснение", пытаясь уложиться в одну фразу, что понимания не прибавляет.