Сегодня (на самом деле месяца три назад, когда начал писать пост) как-то случайно обнаружил себя в состоянии гугления по ключевым словам "неравенства Белла". В смысле, не помню, с чего все началось. Статья в Википедии на мое удивление никакой конкретики не содержала, да и другие результаты поиска тоже были не лучше. Тема, на мой взгляд, относится к принципиальным вопросам квантовой механики и достойна заметки. Попробую воспроизвести обсуждение вопроса, которое я пару раз представлял студентам.
Итак, пусть у нас есть частица со спином ноль, которая может распасться на две частицы со спином половинка. Допустим, что в распаде сохраняется спин, тогда спиновая часть волновой функции конечных частиц имеет вид\[\frac1{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle-|\downarrow\rangle|\uparrow\rangle\right)\]Частицы летят в противоположных направлениях и попадают в два детектора, расположенные на большом расстоянии. Оба детектора одновременно измеряют проекцию спина своей частицы на ось $z$. Эксперимент повторяется много раз.
Парадокс Эйнштейна-Розена-Подольского состоит в том, что, согласно квантовой механике, показания приборов будут стопроцентно скоррелированы: если один покажет спин вверх, то другой --- спин вниз. Кажется, что приборы успевают мгновенно обменяться информацией, что противоречит специальной теории относительности. Однако, это, конечно, иллюзия: никакой полезной информации передать таким способом нельзя. Единственное, что мы мгновенно узнаем при измерении --- это результат такого же измерения, выполненного другим таким же прибором.
Более того, скептик может объяснять такую корреляцию абсолютно классически: в каждом распаде частица распадается на одну со спином вверх и одну со спином вниз, а какая из этих частиц попадает в какой детектор определяется сложной, но классической динамикой. Ясно, что мы получим те же результаты эксперимента, что и в квантовом случае. Говоря образно, ситуация обстоит так. Есть мешок с одним белым шаром и одним черным. Два экспериментатора не глядя вытаскивают по шару из мешка и разлетаются не ракетах в разные стороны. Потом они смотрят на свои шары ;) --- и вот она, корреляция.
Хорошо, идем дальше. Пусть теперь экспериментаторы договорились в определенной последовательности чередовать измерения вдоль оси $z$ и вдоль оси $x$. Согласно квантовой механике результаты измерений при этом все-равно стопроцентно скоррелированы. Ага, значит так мы можем определить окончательно и бесповоротно, работает квантовая механика или нет. Ну, не совсем, скажет наш скептик. Просто, в классике это соответствует тому, что есть теперь два мешка, из первого мы тащим шар, соответствующий проекции $z$, а из второго --- $x$. То есть начальная частица распадается либо на пару (++)+(--), либо на пару (+-)+(-+). Здесь мы обозначили за (+-) частицу, имеющую положительную проекцию спина на ось $z$ и отрицательную --- на ось $x$ и т.д.
Рассуждая так и далее, приходим к тому, что результаты экспериментов по измерению проекции спинов частиц на произвольную (но одну на обе частицы) ось можно объяснить, предполагая, что в каждом распаде спиновое состояние частицы характеризуется функцией направления $f(\mathbf{n})$, принимающей для каждого $\mathbf{n}$ с равной вероятностью значения $\pm 1/2$. Еще, конечно, должно быть $f(\mathbf{n})=-f(-\mathbf{n})$. Физический смысл введенной функции прост: ее значение для направления $\mathbf{n}$ есть проекция спина на это направление (которую наш скептик считает определенной вне зависимости от того, измеряется она или нет). При этом функции, соответствующие разным частицам, удовлетворяют условию $f_1(\mathbf{n})=-f_2(\mathbf{n})$ (вследствие сложной, но классической динамики). Так сказать, бесконечное количество мешков, по одному на каждую ось. Ситуация, конечно, странная (внутренний угловой момент частицы характеризуется целой функцией!), но все же классическая. При этом вся функция $f$ является локальной характеристикой (тем, что называется локальными скрытыми переменными) частицы, а то, что мы в каждом эксперименте можем измерить ее значение только для одного выбранного направления скептик списывает на несовершенство наших измерительных приборов. Более того, поскольку $f_1$ и $f_2$ для одного направления жестко связаны в нашем эксперименте, тот же самый скептик считает, что вторая частица дает нам возможность измерить значение $f_1$ под другим направлением.
Теперь будем проводить измерения для разных частиц под разными направлениями. Если угол между направлениями равен $\theta$, то квантовая механика говорит, что вероятность одинакового знака измеренных проекций равна $p(\theta)=\sin^2(\theta/2)$. Это означает, что наши вытягивания шаров из мешков не являются независимыми (в противном случае было бы $p(\theta)=0.5$). А точнее, нам нужно, чтобы коррелятор имел вид\[\langle f(\mathbf{n})f(\mathbf{n}^\prime)\rangle=\mathbf{n}\mathbf{n}^\prime/4\qquad(*)\] Вопрос: возможно ли это?
Покажем, что это невозможно. Для этого зафиксируем четыре направления как показано на рисунке 1 и рассмотрим среднее
\[\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)+f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)+f(\mathbf{n}_2)f(\mathbf{n}_3)-f(\mathbf{n}_2)f(\mathbf{n}_4)\rangle\] Чему оно может быть равно? Пусть у нас есть ансамбль частиц. Для каждой частицы реализуется одна из 16 комбинаций значений $f$ для четырех выбранных направлений: (----),(---+),...,(++++). Вероятности, с которой реализуется каждая из комбинаций обозначим, соответственно, $w_0,w_1,\ldots,w_{15}$. Тогда наше среднее равно\[ (w_0+ w_1+w_2+w_3+w_{12}+ w_{13}+w_{14}+w_{15})/2\]\[-(w_4+w_5+w_6+w_7+w_8+w_9+w_{10}+w_{11})/2 \] Поскольку все вероятности положительны и их сумма равна $1$, видно, что для любого ансамбля это среднее меньше по модулю, чем $1/2$. А вот если бы мы использовали $(*)$, получили бы $1/\sqrt{2}\gt1/2$! Вот и противоречие.
Итак, у нас в руках способ экспериментально проверить существование у частицы, вне зависимости от измерения, проекций спина на любую ось. Единственно, что нужно еще сказать, это то, что мы считаем возможным приготовление нескольких одинаковых ансамблей частиц, так, чтобы была возможность измерить сначала на первом ансамбле $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)\rangle$ ($\stackrel{def}{=}-\langle f_1(\mathbf{n}_1)f_2(\mathbf{n}_3)\rangle$ ), затем на втором $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)\rangle$ и т.д. По мне, если этого не предполагать, нужно вообще наукой перестать заниматься, т.к., фактически, отрицается воспроизводимость эксперимента.
Итак, пусть у нас есть частица со спином ноль, которая может распасться на две частицы со спином половинка. Допустим, что в распаде сохраняется спин, тогда спиновая часть волновой функции конечных частиц имеет вид\[\frac1{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle-|\downarrow\rangle|\uparrow\rangle\right)\]Частицы летят в противоположных направлениях и попадают в два детектора, расположенные на большом расстоянии. Оба детектора одновременно измеряют проекцию спина своей частицы на ось $z$. Эксперимент повторяется много раз.
Парадокс Эйнштейна-Розена-Подольского состоит в том, что, согласно квантовой механике, показания приборов будут стопроцентно скоррелированы: если один покажет спин вверх, то другой --- спин вниз. Кажется, что приборы успевают мгновенно обменяться информацией, что противоречит специальной теории относительности. Однако, это, конечно, иллюзия: никакой полезной информации передать таким способом нельзя. Единственное, что мы мгновенно узнаем при измерении --- это результат такого же измерения, выполненного другим таким же прибором.
Более того, скептик может объяснять такую корреляцию абсолютно классически: в каждом распаде частица распадается на одну со спином вверх и одну со спином вниз, а какая из этих частиц попадает в какой детектор определяется сложной, но классической динамикой. Ясно, что мы получим те же результаты эксперимента, что и в квантовом случае. Говоря образно, ситуация обстоит так. Есть мешок с одним белым шаром и одним черным. Два экспериментатора не глядя вытаскивают по шару из мешка и разлетаются не ракетах в разные стороны. Потом они смотрят на свои шары ;) --- и вот она, корреляция.
Хорошо, идем дальше. Пусть теперь экспериментаторы договорились в определенной последовательности чередовать измерения вдоль оси $z$ и вдоль оси $x$. Согласно квантовой механике результаты измерений при этом все-равно стопроцентно скоррелированы. Ага, значит так мы можем определить окончательно и бесповоротно, работает квантовая механика или нет. Ну, не совсем, скажет наш скептик. Просто, в классике это соответствует тому, что есть теперь два мешка, из первого мы тащим шар, соответствующий проекции $z$, а из второго --- $x$. То есть начальная частица распадается либо на пару (++)+(--), либо на пару (+-)+(-+). Здесь мы обозначили за (+-) частицу, имеющую положительную проекцию спина на ось $z$ и отрицательную --- на ось $x$ и т.д.
Рассуждая так и далее, приходим к тому, что результаты экспериментов по измерению проекции спинов частиц на произвольную (но одну на обе частицы) ось можно объяснить, предполагая, что в каждом распаде спиновое состояние частицы характеризуется функцией направления $f(\mathbf{n})$, принимающей для каждого $\mathbf{n}$ с равной вероятностью значения $\pm 1/2$. Еще, конечно, должно быть $f(\mathbf{n})=-f(-\mathbf{n})$. Физический смысл введенной функции прост: ее значение для направления $\mathbf{n}$ есть проекция спина на это направление (которую наш скептик считает определенной вне зависимости от того, измеряется она или нет). При этом функции, соответствующие разным частицам, удовлетворяют условию $f_1(\mathbf{n})=-f_2(\mathbf{n})$ (вследствие сложной, но классической динамики). Так сказать, бесконечное количество мешков, по одному на каждую ось. Ситуация, конечно, странная (внутренний угловой момент частицы характеризуется целой функцией!), но все же классическая. При этом вся функция $f$ является локальной характеристикой (тем, что называется локальными скрытыми переменными) частицы, а то, что мы в каждом эксперименте можем измерить ее значение только для одного выбранного направления скептик списывает на несовершенство наших измерительных приборов. Более того, поскольку $f_1$ и $f_2$ для одного направления жестко связаны в нашем эксперименте, тот же самый скептик считает, что вторая частица дает нам возможность измерить значение $f_1$ под другим направлением.
Теперь будем проводить измерения для разных частиц под разными направлениями. Если угол между направлениями равен $\theta$, то квантовая механика говорит, что вероятность одинакового знака измеренных проекций равна $p(\theta)=\sin^2(\theta/2)$. Это означает, что наши вытягивания шаров из мешков не являются независимыми (в противном случае было бы $p(\theta)=0.5$). А точнее, нам нужно, чтобы коррелятор имел вид\[\langle f(\mathbf{n})f(\mathbf{n}^\prime)\rangle=\mathbf{n}\mathbf{n}^\prime/4\qquad(*)\] Вопрос: возможно ли это?
 |
| Рис.1 |
Итак, у нас в руках способ экспериментально проверить существование у частицы, вне зависимости от измерения, проекций спина на любую ось. Единственно, что нужно еще сказать, это то, что мы считаем возможным приготовление нескольких одинаковых ансамблей частиц, так, чтобы была возможность измерить сначала на первом ансамбле $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_3)\rangle$ ($\stackrel{def}{=}-\langle f_1(\mathbf{n}_1)f_2(\mathbf{n}_3)\rangle$ ), затем на втором $\langle f(\mathbf{n}_1)f(\mathbf{n}_4)\rangle$ и т.д. По мне, если этого не предполагать, нужно вообще наукой перестать заниматься, т.к., фактически, отрицается воспроизводимость эксперимента.
Комментариев нет:
Отправить комментарий