Задача про неравенства Белла

Недавно придумал вот такую задачу:

Есть тёмная комната, из которой выносится пара пеналов, один синий, другой --- красный (для определённости). В каждом пенале есть по три отделения. Разрешается открыть по одному отделению в каждом пенале. После этого выносится следующая пара пеналов. Экспериментально установлено, что когда открываются одинаковые отделения в обоих пеналах (например, в обоих третье отделение), в одном обязательно находится один черный шар, а в другом --- белый. При этом в каждом пенале черный и белый шар выпадают с одинаковой частотой (вероятностью). Если же открываются разные отделения (например, отделение №1 в синем пенале и №2 в красном, но всё сказанное далее относится к любой паре отделений с несовпадающими номерами), то в них возможны все комбинации: чёрный-чёрный, чёрный-белый, белый-чёрный и белый-белый. Причём комбинации чёрный-чёрный и белый-белый выпадают с одинаковой вероятностью $p_1$, а комбинации чёрный-белый и белый-чёрный также равновероятны и имеют, соответственно, вероятность $p_2=\frac12-p_1$. Есть очевидные ограничения на $p_1$: $0<p_1<1/2$. Вопрос: можно ли получить более сильные ограничения на возможные $p_1$?

P.S. Эти ограничения как раз и являются неравенствами Белла для данного сетапа.

P.P.S. Надо бы картинки нарисовать поясняющие, но пока времени нету.

Гёмбёц

Недавно пытался придумать несколько задач для курса мат. анализа, которые не выглядели бы надуманными. То есть, я искал задачу, которая возникает время от времени в реальной жизни, но её решение требует знаний мат. анализа. Оказалось, что это совсем непросто. Либо задачи выглядят надуманными, либо не требуют для решения неэлементарных методов. Так что, должен признаться, ничего у меня толком не получилось. Но в процессе размышления придумал такую задачу

Доказать, что любая плоская выпуклая фигура с постоянной плотностью массы и гладкой границей имеет как минимум два устойчивых положения равновесия.

Сделаем два замечания: Во-первых, если отбросить требование постоянной плотности,
очевидно, легко любую выпуклую фигуру сделать неваляшкой с одним устойчивым равновесием и одним неустойчивым. Второе замечание --- обобщение утверждения на трёхмерье оказывается неверным (гуглить по слову в заголовке поста).

P.S. Пост был написан, наверное, с год. А с тех пор я пробовал дать эту задачу одному сильному фмшатнику. Он почти решил.

P.P.S. По воспоминаниям похожим образом решается ещё такая задача

Доказать, что фигура с минимальным периметром при фиксированной площади --- круг.

 И вот ещё

Доказать, что не существует устойчивых мыльных пузырей с топологией поверхности тора (т.е. в виде бублика).

Эту последнюю задачу я, впрочем, только в предположении цилиндрической симметрии умею решать.

Euclidea

Недавно поставил себе на телефон  Euclidea. Это игра, состоящая из задач на построение циркулем и линейкой. Когда-то я подумывал о том, что было бы неплохо сделать такую игру и подсадить на неё нынешнее поколение геймеров с тем, чтобы из них получились крутые геометры. Теперь, когда игра появилась, я её поставил с наивной уверенностью, что ни одна задача на построение циркулем и линейкой в тупик меня поставить не сможет. Ага, как же. Один маленький нюанс, оказалось, полностью меняет дело. Этот нюанс --- ограничение числа ходов. Под ходом понимается построение окружности циркулем или прямой линии линейкой. С учётом этого ограничения некоторые задачи казались мне просто неразрешимыми. Вот несколько примеров. В каждом случае заданное отмечено черным цветом, а построить требуется красное.

1. (квадрат с заданной вершиной, вписанный в окружность с отмеченным центром за 7 ходов)
2. (касательная к окружности с отмеченным центром в заданной точке за 3 хода)
3. (равностороний треугольник с заданной вершиной, вписанный в окружность (центр не отмечен!) за 6 ходов)