Гёмбёц

Недавно пытался придумать несколько задач для курса мат. анализа, которые не выглядели бы надуманными. То есть, я искал задачу, которая возникает время от времени в реальной жизни, но её решение требует знаний мат. анализа. Оказалось, что это совсем непросто. Либо задачи выглядят надуманными, либо не требуют для решения неэлементарных методов. Так что, должен признаться, ничего у меня толком не получилось. Но в процессе размышления придумал такую задачу

Доказать, что любая плоская выпуклая фигура с постоянной плотностью массы и гладкой границей имеет как минимум два устойчивых положения равновесия.

Сделаем два замечания: Во-первых, если отбросить требование постоянной плотности,
очевидно, легко любую выпуклую фигуру сделать неваляшкой с одним устойчивым равновесием и одним неустойчивым. Второе замечание --- обобщение утверждения на трёхмерье оказывается неверным (гуглить по слову в заголовке поста).

P.S. Пост был написан, наверное, с год. А с тех пор я пробовал дать эту задачу одному сильному фмшатнику. Он почти решил.

P.P.S. По воспоминаниям похожим образом решается ещё такая задача

Доказать, что фигура с минимальным периметром при фиксированной площади --- круг.

 И вот ещё

Доказать, что не существует устойчивых мыльных пузырей с топологией поверхности тора (т.е. в виде бублика).

Эту последнюю задачу я, впрочем, только в предположении цилиндрической симметрии умею решать.