Шаровое звездное скопление состоит из 30 тыс. звезд и имеет радиус 30 световых лет. Найти среднее расстояние между звездами этого скопления.Обсуждалась не задача, конечно, а то, насколько она по зубам школьникам 6-7 классов. Равномерное распределение звезд, насколько я понял, в задаче подразумевалось. Вопрос в том, как понимать среднее расстояние. Если это действительно среднее по всем парам звезд расстояние, то среднее расстояние вычисляется как интеграл\[(4\pi R^3/3)^{-2}\int d\mathbf{r}_1 d\mathbf{r}_2 |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|=18R/25,\]если нигде не ошибся. Такая задача, конечно, сложна для школьников.
С другой стороны, как заметила физическая часть аудитории, спрашивалось скорее среднее расстояние между парами соседних звезд. Решение, которое предлагалось - кубический корень из объема, приходящегося в среднем на одну звезду,т.е., $\sqrt[3]{4\pi R^3/3N}$, и это, конечно, вполне по силам семикласснику.Такая оценка среднего расстояния действительно встречается в физических рассуждениях на каждом шагу. По порядку величины, конечно, это правильный ответ. Вопрос, поймет ли школьник, что именно это от него требуется.
В ходе обсуждения обнаружил, что для астрофизиков "примерно" и "по порядку величины" - понятия
Ну, и, ради любви к искусству, посчитаем, насколько это действительно так\[\langle r\rangle=\int d(N r^3/R^3)r\exp(-N r^3/R^3)=\Gamma[4/3]\sqrt[3]{R^3/N},\]т.е., в этом случае, ответ меньше оценки примерно в 1.8 раз.
Рома, ты будешь смеяться, но интегралы, приводящие ко второму атомному форм-фактору, почти такие же.
ОтветитьУдалитьГм. Твой ответ для $\langle r \rangle$ какой-то неочевидный.
ОтветитьУдалитьЯ бы так решал: представим себе бесконечный объем с плотностью частиц $\rho$, какое распределение частиц будет в объеме $V$? Очевидно Пуассон со средним $\lambda=V \rho$, т.е. $p_k=\lambda^{k}/k! e^{-\lambda}$.
Конечно, если взять $p_0$, то это можно считать за распределение объемчиков без частиц. Если при этом усреднить линейный размер, то получиться твой ответ. Но я бы взял $p_1$, т.е. распределение по объемчикам с одной частицей внутри. Ответ тогда, естественно, изменится на $4/3$.
"Очевидно Пуассон" бывает только для не взаимодействующих звезд.
ОтветитьУдалитьНе, Гриша, частица ведь должна в центре находится. Вообще, не очень понимаю, что ты с этим Пуассоном собираешься делать. Спрашивается ведь среднее расстояние между соседними звездами, т.е., берем случайную звезду и определяем растояние до ближайшей. И так много раз для усреднения. Я так решал. Пусть в объеме $V$ случайно набросаны $N$ частиц. Рассмотрим шар с радиусом $r$ вокруг одной из частиц. Вероятность не найти в этом шаре другой частицы, очевидно, $(1-\frac{4\pi r^3}{3V})^{N-1}$, что в пределе и дает $\exp(-4\pi r^3 n/3)$. Дифференцированием получаем распределение по расстояниям и т.д.
ОтветитьУдалитьДано: примерное расстояние от электрона до центра инерции атома $H^0$ в возбужденном состоянии |n> есть $a_0 n^2$, а ядра - в $m_e/m_p$ раз меньше, но все равно это больше собственных размеров ядра. Вопрос, как прощупать экспериментально форму облака положительного заряда в атоме? Рассмотреть предел n >> 1. Объяснить физику упругого рассеяния на большие углы.
ОтветитьУдалитьРома, будь другом, подскажи как "активировать" Latex в моем блоге. В настройках я ничего не нашел, само оно не работает и голова не варит. http://fishers-in-the-snow.blogspot.com/
ОтветитьУдалитьРома, с Латексом отбой, Гриша уже выручил. Проходите ко мне, посудачим на мою тему.
ОтветитьУдалить