Идеалов в реальном мире не бывает, но в математике они существуют еще как. Идеалы в математике бывают разные, но здесь я расскажу про идеалы коммутативных колец.
Вообще,
кольцо --- это множество, замкнутое относительно двух операций со свойствами сложения и умножения. Эти операции поэтому часто так и называют: сложение и умножение. Правда, коммутативность умножения не требуется, но нас интересует как раз кольцо с коммутативным умножением --- коммутативное кольцо. Ну еще хотят чтобы был нуль, и был противоположный элемент. Существование противоположного элемента позволяет определить в этом множестве и операцию вычитания по формуле
, где
--- элемент, противоположный
. Заметим, что существование единичного элемента и обратного элемента для ненулевого
не требуется, и в этом принципиальное отличие кольца от
поля.
Говоря неформально, в кольце деление даже на ненулевой элемент может быть невыполнимо. И, естественно, встает вопрос, а когда же деление все-таки выполнимо? Возьмем элемент кольца
и спросим, какие элементы
на него делятся, для каких
разрешимо уравнение
Множество допустимых значений
является примером идеала.
Возьмем самый простой пример коммутативного кольца — множество целых чисел
с обычным сложением и умножением. Тогда, например, множество чисел, кратных числу
является идеалом.
Можно расширить определение идеала так: пусть заданы несколько элементов кольца
. Тогда идеал определим как множество значений
(из кольца, конечно), для которых уравнение
разрешимо относительно
(в кольце, конечно). Про такие идеалы говорят, что они порождаются элементами
. Для кольца целых чисел наше обобщение
не добавляет ничего нового. Чтобы это понять, заметим, что, во-первых, достаточно рассматривать идеалы, порожденные
натуральными числами. Во-вторых, идеал, порожденный натуральными числами
, совпадает с идеалом, порожденным
. Таким образом, в кольце целых чисел не только каждому натуральному числу соответствует идеал, но и наоборот, что открывает возможность переформулировать утверждения о натуральных числах в утверждения об идеалах. Вот, например, идеал, соответствующий простому числу (по понятным причинам называется простым идеалом), --- это собственный идеал (собственный
не совпадающий со всем кольцом), обладающий следующим свойством: для любого его элемента, имеющего вид произведения, по-крайней мере один из сомножителей также принадлежит идеалу. Теперь, когда у нас есть такое определение, мы можем его использовать для идеалов любых коммутативных колец, и, естественно, надеяться, что у этой и подобных конструкций есть простой смысл и большая польза.
Вот, например, рассмотрим полиномиальное кольцо --- множество полиномов от
переменных
с комплексными, скажем, коэффициентами. Полиномы, как и целые числа, можно складывать и умножать. Обозначать это множество будем так:
. В этом кольце наше обобщение
уже не сводится к
. Для кольца целых чисел каждый идеал у нас соответствовал натуральному числу, а для кольца полиномов идеалу можно придать гораздо более интересный смысл. А именно, идеалу, порожденному полиномами
, сопоставим алгебраическое многообразие в
, заданное полиномиальными уравнениями
Только вот это соответствие неоднозначное. В частности, если мы любой полином в системе
заменим на его степень, многообразие, очевидно не поменяется, а идеал, вообще говоря, поменяется. Чтобы соответствие было однозначным, нам нужно рассматривать не все идеалы, а то, что называется радикал-идеалы.
Радикал-идеал --- это идеал, для которого из условия
следует
. Так вот соответствие между радикал-идеалами и алгебраическими многообразиями однозначно. Это означает, что, исследуя радикал-идеалы, можно исследовать алгебраические многообразия. Кстати, радикал-идеалы в кольце
соответствуют натуральным числам, в разложении которых на простые нет степеней. Поэтому радикал-идеалы называются еще полупростыми. Очевидно, что простые идеалы являются также полупростыми, а обратное не всегда верно.
 |
Пример приводимого многообразия,
заданного уравнением
|
|
|
|
Чтобы понять, чему соответствуют простые идеалы, нам нужно ввести понятие неприводимых алгебраических многообразий.
Неприводимые алгебраические многообразия --- алгебраические многообразия, которые нельзя представить в виде объединения нескольких алгебраических многообразий. Так вот, неприводимые алгебраические многообразия играют роль простых чисел --- им соответствуют простые идеалы.
Красота идеальной математики на этом не кончается, но вот пост пора закруглять. Могу только порекомендовать для самообразования книжку
Кокс, Литтл, О'Ши Идеалы, многообразия и алгоритмы.
P.S. Все, можно статьи писать прямо в блоггере. Последний MathJax поддерживает нумерацию уравнений + ссылки через \ref и \eqref. Чтобы узнать как это включить, смотреть в коде поста скрипт с src="...MathJax.js"